USD 62.9776

+0.11

EUR 70.6546

-0.14

BRENT 63.06

-0.37

AИ-92 42.25

0

AИ-95 45.75

0

AИ-98 51.34

0

ДТ 46.16

0

17 мин
100

УВЕЛИЧЕНИЕ ОБЪЕМОВ ЧИСЛЕННОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ В МАСШТАБЕ ПОР: метод разбиения на подкубы при выделении поросетевых моделей

Исследование фильтрационных характеристик образцов керна необходимо для успешной разработки месторождений — построения и уточнения гидродинамической модели, а также для понимания влияния различных методик повышения нефтеотдачи (МУН) с последующим их внедрением. Такие исследования в масштабе полноразмерного керна и выбуренных из него цилиндров диаметром ~4 см традиционно производятся на основе лабораторных измерений и негласно считаются эталоном. Но лабораторные методы имеют ряд неточностей. Какие методики сегодня предлагают российские ученые для решения актуальных задач повышения добычи и улучшения параметризации гидродинамических моделей?

С развитием цифровых технологий, в последние 10 – 20 лет идеи цифрового керна (получения свойств на основе моделирования в масштабе пор) получает все большее внимание за рубежом и в России, но по-прежнему вызывает скептицизм у специалистов производства. Исследования последних лет указывают на множественные неточности лабораторных методов, в том числе:
1) специфические ошибки измерений1, 2;
2) изменения в структуре, в том числе за счет самофильтрации и разрушения образца3, что определяет невозможность работы с неконсолидированными породами;
3) проблемы с измерениями на образцах нецилиндрической формы, например, шлам 4;
4) сложности с измерением тензорных свойств 5;
5) невозможность создавать условия, соответствующие реальным условиям в глубине месторождений;
6) невозможность оценки представительности образца или перемасштабирования свойств без описания статистических дескрипторов его структуры 6, 7.

РИС. 1. Схема выделения поросетевой модели с разбиением на подкубы
фаыа.jpg

Часто подобные проблемы проявляются совместно и их очень тяжело разделить, например, последние результаты указывают на значительные ошибки экспериментальных данных в случае если керновый материал не ориентирован8 ввиду квазиодномерности всех измерений, а измерение тензорных свойств для анизотропных пород-коллекторов представляется невозможным ввиду неосуществимости в лаборатории требуемых граничных условий9. Влияние граничных условий на тензор проницаемостей. Это, в свою очередь, не позволяет осуществить физически-обоснованный апскелйинг фильтрационных характеристик10 до размера ячейки гидродинамического симулятора.

Для моделирования одно- и многофазной фильтрации в масштабе пор – подхода, который позволяет обойти все выше обозначенные проблемы лабораторных измерений, – существует целый набор различных методик, которые мы будем называть прямыми, т.е. оперирующими непосредственно на цифровой геометрии строения моделируемой породы и решающие уравнение Навье-Стокса или его упрощения/модификации. Среди наиболее популярных отметим:
• решеточный метод Больцмана 11;
• конечно-разностные или конечно-объемные схемы и метод объема жидкости volume of fluid 12;
• методы сглаженных частиц 13;
• конечно-разностные решатели 14;
• метод уровня level-set 15;
• метод фазы phase-field 16
• функционала плотности 17.

Каждый из этих методов обладает своими плюсами и минусами и при этом активно развиваются, поэтому установить «оптимальный» не представляется возможным. Выбор метода должен определяться конкретной решаемой задачей. Большинство подходов доступны в виде свободных или коммерческих пакетов. Однако все перечисленные методики обладают целым рядом недостатков, которые и вызывают скептицизм специалистов или критику «лабораторщиков»:
1) слишком маленький размер домена моделирования (обычно около 1 – 2 мм3 или 7003 вокселей), а в случае многофазной фильтрации требуются высокопроизводительные ресурсы кластеров и суперкомпьютеров;
2) значительное влияние качества входного изображения (разрешения съемки) на результаты моделирования 18;
3) неоднозначность обработки изображений пород-коллекторов с конечным разрешением съемки (сегментация).

При этом две последние проблемы хотя и имеют решения за счет совмещения разномасштабных изображений 19, полученных на основе макро- и микротомографии, и РЭМ изображений 20 – это лишь увеличивает проблему номер один с размерами домена моделирования. При этом возможность повышение качества изображений за счет многомасштабных исследований 21 и стохастических реконструкций 22,23,24,25 в настоящее время не вызывает сомнений, хотя следует отметить, что подобные технологии пока еще недостаточно вычислительно эффективны для рутинных исследований.

В отличие от методов прямого моделирования, использующих воксельные 3D-изображения 26,27, методы на основе поросетевых моделей 28, 29, 30, 31 позволяют проводить моделирование в масштабе пор гораздо быстрее и на больших объемах.

По сравнению с прямыми методами, моделирование в поросетевых моделях позволяет обсчитывать репрезентативные объемы породы (вплоть до полноразмерного керна) на обычных ПК, при этом за счет аналитических расчетов положения менисков (без расчетной сетки) и возможности создания многомасштабных поросетевых моделей решаются и выше обозначенные проблемы 2) и 3). Несмотря на вычислительную эффективность, перед тем как проводить численные исследования, необходимо экстрагировать поросетевую модель из 3D-изображений пористой среды. Эта процедура сама по себе довольно требовательна к ресурсам, а особенно к памяти RAM. Вычислительная эффективность особенно критична при расчете фильтрационных характеристик для сложно построенных иерархических образцов пористых сред 32, 33, 34, цифровая модель которых строится по набору разномасштабных изображений. Но изображения более 500 – 10003 вокселей (в зависимости от метода экстракции) уже не помещаются в память обычного ноутбука. По этой причине стоит актуальная проблема понижения требований к вычислительным ресурсам, которую мы предлагаем решать с помощью разбиения на подкубы.

Таким образом, целью настоящей статьи является продемонстрировать возможности повышения объемов моделируемых объемов без увеличения вычислительных мощностей, а также обсуждение будущего цифровых технологий и их возможностей для решения самых актуальных задач повышения добычи углеводородов.

Методика
Выделение поросетевой модели представляет собой упрощение геометрии породы, что позволяет затем в поросетевом симуляторе вычислительно эффективно рассчитывать передвижение менисков на основе задаваемых граничных условий 35. В идеале выделенная модель должна сохранять топологию (связность) пустотного пространства, при этом упрощая геометрию необходимо соблюдать компромисс между простотой (скорость моделирования фильтрации) и точностью (достоверность моделирования). Существует целый набор различных подходов к экстракции поросетевой модели:
1) на основе выделения и анализа так называемых медианных линий или скелетона пустотного пространства 36,37,38,
2) метод вписанных сфер 39, 40, 41,
3) на основе алгоритма водораздела 42, 43, 44.

Многие из недавно разработанных методик комбинируют эти классические основы в гибридные методы 45, 46, 47.

В настоящей работе для выделения поросетевых моделей использовался гибридный метод на основе вписанных сфер и медианных линий нашего коллектива 46. Сразу отметим, что разработанная методика разбивания домена моделирования на подкубы универсальна и работает с любой методикой выделения поросетевой модели с разделение пустотного пространства на поры (большие объемы пустотного пространства) и перешейки (элементы наименьшего сечения между порами).

Суть предлагаемого метода проста и впервые была предложена нашим коллективом 48 – кубический (методика может быть усовершенствована до доменов любой формы с произвольным разбиением) домен (3D-изображений строения образца в виде вокселей пор и твердого вещества) разбивалось на подкубы равного размера.

ТАБЛИЦА 1. Сравнение общего количества пор и перешейков, а также абсолютной проницаемости поросетевых моделей, выделенных из образца песчаника с разбиением на подкубы и без
фаыа.jpg

Из каждого подкуба выделялись поросетевые модели на основе гибридного метода, которые потом соединялись в единую поросетевую модель на основе набора специализированных правил. Правила соединения элементов на границах подкубов можно условно разбить на три:
а) слияние пор на границах,
б) установление перешейка между двумя порами на границе,
в) слияние двух перешейков.

 Выбор правил и параметризация соединенных или новых элементов поросетевой модели проводится за счет анализа приграничной зоны. Схематичное изображение реализации методики показано на рис. 1.

Тестирование методики проводилось на изображении песчаника (Западная Сибирь) размером 7003 вокселей. Изображение было получено с помощью рентгеновской микротомографии с разрешением 5,1 мкм на воксель, при этом точность сегментации (разделения на поры и твердую фазу) для этого песчаника определялось на основе дополнительных исследований, в том числе лабораторных измерений пористости, эффективной пористости и капиллярной кривой 49. Бинаризированное изображение подавалось на вход разработанного нами программного модуля, написанного на С++, в формате «.raw». Выделенная сетевая модель сохранялась в формате «statoil» и использовалась в виде входных данных в классическом симуляторе Valvatne 50. Также модель записывалась в формате «.vtk» для визуализации в стиле, вдохновленном пакетом OpenPNM 51. Мы провели моделирование однофазную и двухфазной фильтрации в выделенных поросетевых моделях и рассчитывали абсолютную проницаемость, капиллярные кривые и относительные проницаемости в цикле дренажа и пропитки. Дренаж начинался от полного насыщения водой, а пропитка – после полного первичного вытеснения воды нефтью. При моделировании использовались следующие параметры: песчаник считался смачиваемым водой (случайное распределение контактных углов между водой и стенками пор = 0 – 30°), поверхностное натяжение между нефтью и водой 30 мН/м, вязкость воды 0,00098 Па с, вязкость нефти 0,00139 Па с, плотность воды и нефти 1000 и 850 кг м-3 соответственно.

Для верификации методики мы сравнивали расчетные проницаемости, относительные проницаемости и капиллярные кривые, а также общее количество пор и перешейков для поросетевых моделей выделенных без разделения на подобъемы (весь образец целиком) и с разбивкой на подкубы размером 3003 и 1753 вокселей.

РИС. 2. Примеры получаемых относительных проницаемостей и капиллярных кривых при разбивании куба в 7003 вокселей на подкубы размерами 3003 и 1753 вокселей
фаыа.jpg

Результаты и обсуждение
На основе сравнения всех выбранных метрик для верификации методики можно с уверенностью заключить, что все получаемые результаты незначительно зависят от разбиения. Так, разница в проницаемости и общем количестве пор и перешейков в зависимости от разбивки на подкубы показана в таблице 1. При разбивке изначального объёма в 7003 вокселей изменение проницаемости составило не более 15 %, а количество элементов поросетевой модели менялось незначительно. Характеристики многофазной фильтрации менялись незначительно, что показано на рис. 2. Ключевым результатом является значительное снижение требуемых вычислительных ресурсов, в том числе RAM, которое было линейно пропорционально соотношению подкуба к объему всего домена. Отдельно отметим, что простое соединение подкубов перешейками без использования правил на рис. 1 приводит к значительному ухудшению статистики в таблице 1.

 Следует отдельно отметить, что все современные поросетевые симуляторы обладают рядом недостатков – они либо слишком АКЦЕНТупрощают геометрию поровых элементов, либо не учитывают целый ряд топологически нетривиальных конфигураций при фильтрации. Так, в основе современных симуляторов лежит так называемая C-T-S модель, которая аппроксимирует положение менисков внутри пор и их гидравлические свойства 35, 52, предполагая их круглую, треугольную или квадратную формы (отсюда аббревиатура от circle-triangle-square). Несмотря на последующие модификации с помощью формы многоконечной звезды 53, было показано, что все эти модели не могут описать всех необходимых зависимостей даже для однофазного течения 46. При этом нашим коллективом было предложено эффективное решение на основе прямого моделирования и машинного обучения. На основе самого продвинутого метода выделения поросетевых моделей 9 мы обнаружили, что часто наблюдаются топологические конфигурации (например, более одного перешейка между порами или пересекающиеся срезы перешейков 54, которые не могут быть учтены в современных симуляторах. Для устранения всех этих недостатков поросетевых моделей наша группа ведет разработку симулятора нового поколения.

Заключение
На основании результатов (таблица 1 и рис. 2) и незначительно меняющихся значений проницаемости при выделении с разбиением на подкубы можно заключить, что методика отлично подходит для понижения вычислительных ресурсов при выделении поросетевых моделей, а также представляет собой задел для реализации параллельной методики выделения таких модели.

С учетом скачков в развитии методов моделирования в масштабе пор, в том числе поросетевых моделей, появляется реальная возможность использования таких методик для решения актуальных задач повышения добычи 418985и улучшения параметризации гидродинамических моделей. При этом симуляторы могут решать целый ряд ключевых задач (см. введение), которые невозможно исследовать в эксперименте. Предложенная в работе технология решает одну из основных проблем моделей в масштабе пор (требовательность к ресурсам при моделировании образцов больших объемов) и позволяет вывести поросетевые симуляторы на качественно новый уровень.


Благодарность
Совместная работа исследователей проводились в рамках коллаборационной исследовательской группы FaT iMP (Flow and Transport in Media with Pores / Фильтрация и транспорт в пористой среде,
www.porenetwork.com). Мы благодарим Тимофея Сизоненко за помощь в разработке кода на начальных этапах проекта.
Данные исследования были выполнены при поддержке гранта Российского научного фонда № 17-17-01310.


1.     Diamond S., 2000. Mercury porosimetry: an inappropriate method for the measurement of pore size distributions in cement-based materials. Cem. Concr. Res. 30, 1517 – 1525. doi:10.1016/S0008-8846(00)00370-7.

2.     Capek P., Vesel M., Hejtmnek V., 2014. On the measurement of transport parameters of porous solids in permeation and Wicke-Kallenbach cells. Chem. Eng. Sci. 118, 192 – 207. doi:10.1016/j.ces.2014.07.039.

3.     Dikinya O., Hinz C., Aylmore G., 2008. Decrease in hydraulic conductivity and particle release associated with self-filtration in saturated soil columns. Geoderma 146, 192 – 200. doi:10.1016/j.geoderma.2008.05.014.

4.     Gerke K.M., Vasilyev R.V., Korost D.V., Karsanina M.V., Balushkina N., Khamidullin R., Kalmykov G.A., Mallants D. Determining physical properties of unconventional reservoir rocks: from laboratory to pore-scale modeling. SPE 167058 Technical paper, presented at SPE Unconventional Resources Conference and Exhibition, 11 – 13 November 2013, Brisbane, Australia. DOI: 10.2118/167058-MS.

5.     Renard P., Genty A., Stauffer F., 2001. Laboratory determination of the full permeability tensor. J. Geophys. Res. Solid Earth 106, 26443 – 26452. doi:10.1029/2001JB000243.

6.     Karsanina M.V., Gerke K.M., 2018. Hierarchical Optimization: Fast and Robust Multiscale Stochastic Reconstructions with Rescaled Correlation Functions. Physical Review Letters, 121 (26), 265501. DOI: 10.1103/PhysRevLett.121.265501.

7.     Gerke K., Karsanina M., Khomyak A., Darmaev B. and Korost D., 2018a, October. Tensorial Permeability Obtained from Pore-Scale Simulations as a Proxy to Core Orientation in Non-Aligned Rock Material. In SPE Russian Petroleum Technology.

8.     Gerke K., Karsanina M., Khomyak A., Darmaev B. and Korost D., 2018a, October. Tensorial Permeability Obtained from Pore-Scale Simulations as a Proxy to Core Orientation in Non-Aligned Rock Material. In SPE Russian Petroleum Technology Conference. Society of Petroleum Engineers. DOI: 10.2118/191661-18RPTC-MS.

9.     Герке К.М., Сизоненко Т.О., Карсанина М.В., Кацман Р., Корост Д.В. (2019). Влияние граничных условий на тензор проницаемостей. In ГеоЕвразия 2019. Современные методы изучения и освоения недр Евразии (pp. 474 – 477).

10. Sedaghat M.H., Gerke K., Azizmohammadi S. & Matthai S.K. (2016). Simulation-based determination of relative permeability in laminated rocks. Energy Procedia, 97, 433 – 439.

11. Khirevich S., Ginzburg I., Tallarek U., 2015. Coarse-and fine-grid numerical behavior of MRT/TRT lattice-Boltzmann schemes in regular and random sphere packings. J. Comput. Phys. 281, 708 – 742. doi:10.1016/j.jcp.2014.10.038.

12. Raeini, A.Q., Blunt, M.J., Bijeljic, B., 2012. Modelling two-phase flow in porous media at the pore scale using the volume-of-fluid method. J. Comput. Phys. 231, 5653 – 5668. doi:10.1016/j.jcp.2012.04.011.

13. Holmes, D.W., Williams, J.R., Tilke, P., Leonardi, C.R., 2016. Characterizing flow in oil reservoir rock using SPH : Absolute permeability. Comput. Part. Mech. 3, 141 – 154. doi:10.1007/s40571-015-0038-7.

14. Shabro, V., Torres-Verdin, C., Javadpour, F., Sepehrnoori, K., 2012. Finite-Difference Approximation for Fluid-Flow Simulation and Calculation of Permeability in Porous Media. Transp. Porous Media 94, 775 – 793. doi:10.1007/s11242-012-0024-y.

15. Bilger, C., Aboukhedr, M., Vogiatzaki, K., & Cant, R. S. (2017). Evaluation of two-phase flow solvers using Level Set and Volume of Fluid methods. Journal of Computational Physics, 345, 665 – 686.

16. Rokhforouz, M. R., & Akhlaghi Amiri, H. A. (2017). Phase-field simulation of counter-current spontaneous imbibition in a fractured heterogeneous porous medium. Physics of Fluids, 29(6), 062104.

17. Demianov, A., Dinariev, O., & Evseev, N. (2011). Density functional modelling in multiphase compositional hydrodynamics. The Canadian Journal of Chemical Engineering, 89(2), 206 – 226.

18. Zakirov, T., & Galeev, A. (2019). Absolute permeability calculations in micro-computed tomography models of sandstones by Navier-Stokes and lattice Boltzmann equations. International Journal of Heat and Mass Transfer, 129, 415 – 426.

19. Gerke, K.M., Karsanina, M. V, Mallants, D., 2015b. Universal Stochastic Multiscale Image Fusion : An Example Application for Shale Rock. Sci. Rep. 5, 15880. doi:10.1038/srep15880.

20. Karsanina M.V., Gerke K.M., Skvortsova E.B., Ivanov A.L., Mallants D. Enhancing image resolution of soils by stochastic multiscale image fusion. Geoderma, 2018, 314: 138 – 145. DOI: 10.1016/j.geoderma.2017.10.055.

21. Gerke K.M., Karsanina M.V., Sizonenko T.O., Miao X., Gafurova D.R., Korost D.V. Multi-scale image fusion of X-ray microtomography and SEM data to model flow and transport properties for complex rocks on pore-level. SPE 187874 Technical paper, presented at SPE Russian Petroleum Technology Conference, 16 – 18 October, Moscow, Russia. DOI: 10.2118/187874-MS.

22. Li, H., Chen, P. E., & Jiao, Y. (2017). Accurate Reconstruction of Porous Materials via Stochastic Fusion of Limited Bimodal Microstructural Data. Transport in Porous Media, 1 – 18.

23. Li, H., Chawla, N., & Jiao, Y. (2014). Reconstruction of heterogeneous materials via stochastic optimization of limited-angle X-ray tomographic projections. Scripta Materialia, 86, 48 – 51.

24. Jiao Y., Chawla N., 2014. Modeling and characterizing anisotropic inclusion orientation in heterogeneous material via directional cluster functions and stochastic microstructure reconstruction. J. Appl. Phys. 115, 093511. DOI:10.1063/1.4867611.

25. Gerke K.M., Karsanina M.V., 2015. Improving stochastic reconstructions by weighting correlation functions in an objective function. EPL (Europhysics Lett. 111, 56002. doi:10.1209/0295-5075/111/56002.

26. Godinho J.R., Gerke K.M., Stack A.G. and Lee, P.D. (2016) The dynamic nature of crystal growth in pores. Scientific Reports 6, 33086. DOI: 10.1038/srep33086.

27. Васильев Р.В., Герке К.М., Карсанина М.В. & Корост, Д. В. (2015).

28. Fatt I. (1956a) The network model of porous media I. Capillary pressure characteristics. Petrol. Trans. AIME 207, 144 – 159.

29. Fatt I. (1956b) The network model of porous media II. Dynamic properties of a single size tube network. Petrol. Trans. AIME 207, 160 – 163.

30. Fatt I. (1956c) The network model of porous media III. Dynamic properties of networks with tube radius distribution. Petrol. Trans. AIME 207, 164 – 181.

31. Xiong Q., Baychev T., Jivkov A. (2016) Review of pore network modelling of porous media: experimental characterisations, network constructions and applications to reactive transport. Journal of Contaminant Hydrology, 192, 101 – 117. DOI: 10.1016/j.jconhyd.2016.07.002.

32. Gerke K.M., Sizonenko T.O., Karsanina M.V., Lavrukhin E.V., Abashkin V.V., Korost D.V. Improving watershed-based pore-network extraction method using maximum inscribed ball pore-body positioning. Advances in Water Resources.

33. Gerke K.M., Vasilyev R.V., Khirevich S., Karsanina M.V., Collins D., Sizonenko T., Korost D.V., Lamontagne S., Mallants D. Finite-difference method Stokes solver (FDMSS) for 3D pore geometries: Software development, validation and case studies. Computers & Geosciences, 2018b, 114: 41-58. DOI: 10.1016/j.cageo.2018.01.005.

34. Karsanina M.V., Gerke K.M., Skvortsova E.B. & Mallants D. (2015). Universal spatial correlation functions for describing and reconstructing soil microstructure. PloS ONE, 10 (5), e0126515.

35. Patzek T. and Kristensen J. (2001) Shape factor correlations of hydraulic conductance in noncircular capillaries: II. Two-phase creeping flow. Journal of Colloid and Interface Science 236(2), 305 – 317. DOI: 10.1006/jcis.2000.7414.

36. Lindquist W.B., Venkatarangan A., Dunsmuir J. & Wong T.F. (2000). Pore and throat size distributions measured from synchrotron X-ray tomographic images of Fontainebleau sandstones. Journal of Geophysical Research: Solid Earth, 105(B9), 21509 – 21527.

37. Prodanovi M., Lindquist W.B. & Seright, R.S. (2007). 3D image-based characterization of fluid displacement in a Berea core. Advances in Water Resources, 30(2), 214 – 226.

38. Jiang Z., Wu K., Couples G., Van Dijke M., Sorbie K. and Ma J. (2007) Efficient extraction of networks from three dimensional porous media. Water Resources Research 43(12), W12S03. DOI: 10.1029/2006wr005780.

39. Silin D. and Patzek T. (2006) Pore space morphology analysis using maximal inscribed spheres. Physica A: Statistical mechanics and its applications 371(2), 336 – 360. DOI: 10.1016/j.physa.2006.04.048.

40. Dong H. & Blunt M.J. (2009). Pore-network extraction from micro-computerized-tomography images. Physical Review E, 80(3), 036307.

41. Arand, F., & Hesser, J. (2017). Accurate and efficient maximal ball algorithm for pore network extraction. Computers & Geosciences, 101, 28 – 37.

42. Sheppard A.P., Sok R.M. & Averdunk H. (2005, August). Improved pore network extraction methods. In International Symposium of the Society of Core Analysts (Vol. 2125).

43. Rabbani A., Jamshidi S. & Salehi S. (2014). An automated simple algorithm for realistic pore network extraction from micro-tomography images. Journal of Petroleum Science and Engineering, 123, 164 – 171.

44. Gostick J.T. (2017). Versatile and efficient pore network extraction method using marker-based watershed segmentation. Physical Review E, 96(2), 023307.). Versatile and efficient pore network extraction method using marker-based watershed segmentation. Physical Review E, 96(2), 023307.

45. Yi Z., Lin M., Jiang W., Zhang Z., Li H. & Gao J. (2017). Pore network extraction from porespace images of various porous media systems. Water Resources Research, 53(4), 3424 – 3445.

46. Miao X., Gerke K.M., Sizonenko T.O., 2017. A new way to parameterize hydraulic conductances of pore elements: A step forward to create pore-networks without pore shape simplifications. Adv. Water Resour. 105, 162 – 172. doi:10.1016/j.advwatres.2017.04.021.

47. Raeini A.Q., Bijeljic B. & Blunt M. J. (2017). Generalized network modeling: Network extraction as a coarse-scale discretization of the void space of porous media. Physical Review E, 96(1), 013312.

48. Sizonenko T.O., Karsanina M.V., Bayuk I.O., Gerke K.M. (2017). Domain decomposition approach to extract pore-network models from large 3D porous media images. In EGU General Assembly Conference Abstracts (Vol. 19, p. 15463).

49. Korost D., & Gerke K.M. (2012, January). Computation of reservoir properties based on 3D structure of porous media. In SPE Russian Oil and Gas Exploration and Production Technical Conference and Exhibition. Society of Petroleum Engineers. DOI: 10.2118/162023-MS.

50. Valvatne P.H. and Blunt M.J. (2004) Predictive pore-scale modeling of two-phase flow in mixed wet media. Water Resources Research 40(7), W07406. DOI: 10.1029/2003wr002627.

51. Gostick J., Aghighi M., Hinebaugh J., Tranter T., Hoeh M.A., Day H., Spellacy B., Sharqawy M.H., Bazylak A., Burns A., Lehnert W., Putz A. (2016). OpenPNM: a pore network modeling package. Computing in Science & Engineering, 18(4), 60 – 74.

52. Patzek T.W. and Silin D.B. (2001) Shape factor and hydraulic conductance in noncircular capillaries I. One-phase creeping flow. Journal of Colloid and Interface Science 236(2), 295 – 304. DOI: 10.1006/jcis.2000.7413.

53. Ryazanov A., van Dijke M.I.J. and Sorbie K.S. (2009) Two-phase pore-network modelling: Existence of oil layers during water invasion. Transport in Porous Media 80(1), 79-99. DOI: 10.1007/s11242-009-9345-x.

54. Kim J.W., Kim D., & Lindquist W.B. (2013). A re-examination of throats. Water resources research, 49(11), 7615 – 7626.



Читайте также
Система Orphus