Настоящая работа находится в русле основных направлений исследований отдела математических методов регионального программирования ФИЦ ИУ РАН, где в течение нескольких десятилетий ведутся работы по решению задач комплексного освоения территорий. В рамках концепции регионального программирования [1] были разработаны модели, методы и алгоритмы, созданы программные комплексы для решения задач перспективного планирования газо- и нефтедобывающих регионов [2], проектирования генеральных схем освоения нефтяных и газовых месторождений и т.д.
Актуальность перспективного планирования и прогнозирования в газовой отрасли связана с необходимостью анализа долгосрочных перспектив добычи газа и экономической эффективности добычи, в первую очередь для принятия стратегических управленческих решений по освоению новых газодобывающих регионов страны, в первую очередь на Востоке и Крайнем Севере.
В существующих работах по моделированию разработки газовых месторождений [3] обычно детально рассматриваются технологические и технические аспекты разработки отдельных месторождений, включая трехмерное моделирование газоносного пласта. Наоборот, в работах [2, 4, 5] рассматривается моделирование по укрупненным показателям технико-экономических аспектов разработки групп месторождений.
Имитационная модель группы газовых месторождений
Основным объектом исследования является группа газовых месторождений (региона или газодобывающего предприятия), разработка и эксплуатация которых рассматривается по укрупненным показателям на достаточно длительном интервале времени. Стратегия разработки группы месторождений должна отвечать на вопрос, как при заданных потребностях и имеющихся возможностях следует организовать процесс добычи газа, т.е. какие месторождения, в какие сроки и в каком темпе разрабатывать, какие для этого потребуются затраты и т.д.
Была разработана математическая модель функционирования газового месторождения в виде системы дифференциальных уравнений [4]:
Здесь T – длина планового периода; ; V(t) – текущий извлекаемый запас газа на месторождении; N(t) – фонд добывающих скважин; q(t) – дебит скважин; n(t) – ввод новых скважин; V0, N0, q0 – соответствующие значения на начало планового периода; Q(t) – объем добычи газа; 
– критический запас газа, при котором начинается падение добычи; с – стоимость строительства одной скважины; K(t) – капитальные вложения, выделяемые в год на разработку месторождения.
Добыча газа вычисляется как Q(t) =N(t)q(t); управлением является число скважин n(t), вводимых в эксплуатацию в единицу времени, причем для n(t) вводится ограничение Задавая различную динамику разбуривания месторождения n(t), можно управлять динамикой поведения параметров разработки месторождения N(t), q(t) и V(t), получая различные варианты добычи.
Для группы газовых месторождений дополнительно задаются общие ограничения на капитальные вложения и на объем добычи газа по группе:
где m – количество месторождений в группе, P(t) – план добычи газа по группе месторождений, – соответственно, добыча газа и ввод новых скважин на j-м месторождении.
На основе аналитической модели была разработана имитационная модель с дискретным временем и многошаговый алгоритм [4], который позволяет распределить план добычи для группы месторождений P(t) в динамике между отдельными месторождениями, вводимыми в заданном порядке (рис. 1), т.е. определить сроки, темпы ввода месторождений в эксплуатацию и динамику добычи на месторождениях. Управлениями являются план добычи P(t) и порядок ввода месторождений в эксплуатацию.
Алгоритм для каждого года 
пытается выполнить план добычи 
«набирая» его из объемов добычи 
отдельных месторождений c номерами 
вводимых в заданном порядке и в общем виде работает следующим образом. Если для первого года планового периода 
то план может быть выполнен за счет первого месторождения и 
Если в год 
окажется, что 
то надо положить 
и начать разработку следующего месторождения. Добыча на первом месторождении уже не зависит от плана добычи по группе и подчиняется описанным выше закономерностям. После определения 
для всех лет планового периода можно скорректировать план по группе месторождения 
При этом вид кривой добычи определяется исходя из таких параметров, как максимальный процент прироста добычи за год, процент отбора запасов, при котором начинается падение добычи, максимально допустимые уровни добычи, вид функции, определяющей закон падения дебитов и т.д.
В целом алгоритм состоит из 32 этапов, объединенных в три части, каждая из которых выполняется для отдельного года планового периода t
{0, 1, …, T}.
Часть I. Вместо Qj (t) рассчитываются некоторые предварительные значения yj (t), чтобы избежать превышения плана добычи, выполненного при помощи месторождений с номерами от 1 до j*, в силу необходимости учета проекта разработки для какого-либо месторождения с номером j > j*; yj (t) являются минимально возможными уровнями годовой добычи.
Часть II. Проверяется возможность увеличения предварительных значений объемов добычи yj (t) с целью выполнения плана добычи P(t).
Часть III. Для месторождений, вышедших на «полку», можно рассчитать уровни добычи до конца планового периода и исключить эти месторождения из рассмотрения, так как эти уровни определяются только закономерностями функционирования месторождения (нахождение на «полке», а потом падение добычи по экспоненциальному закону) и не зависят от плана добычи по группе.
Расчет уровней добычи газа может производиться с учетом ограничений, налагаемых топологией сети трубопроводов и пропускными способностями звеньев; также учитывается наличие запасов различных категорий, наличие имеющихся проектов разработки, различные режимы дебитов.
Экономико-математическую модель разработки группы газовых месторождений дополняют методики расчета показателей добычи и транспорта газа, которые рассчитываются в динамике в дискретном времени (с шагом в один год) для каждого месторождения [2, 4, 5]. Основой для расчетов является динамика добычи газа по месторождениям, а также входная информация – технологические данные на начало планового периода, топология сети трубопроводов, глубины скважин, цены на газ, удельные, нормативные данные и т.д.
Определяются следующие виды показателей:
· технологические показатели добычи газа – накопленная добыча газа, добыча на конец года, дебиты скважин, пластовые давления, общий и среднедействующий фонд скважин, ввод новых скважин, объем буровых работ;
· технологические показатели транспорта газа – потоки газа в звеньях трубопроводной сети, стандартные диаметры звеньев трубопроводов, количество ниток трубопроводов и годы начала их строительства, количество и сроки ввода в эксплуатацию дожимных компрессорных станций;
· показатели развития социальной инфраструктуры – численность работающих и населения, потребность в жилом фонде и вложениях в социальную инфраструктуру;
· экономические показатели добычи и транспорта газа – капиталовложения различных видов и эксплуатационные затраты на добычу и транспорт газа;
· показатели экономической деятельности газодобывающего предприятия – выручка от реализации газа, налогооблагаемая и чистая прибыль, амортизационные и налоговые отчисления, чистый денежный поток, а также агрегированные показатели – NPV, период окупаемости, точка безубыточности;
· показатели финансового положения предприятия – показатели ликвидности, устойчивости финансового положения, оборачиваемости средств и рентабельности.
Цена на газ, обеспечивающая заданную внутреннюю норму доходности газодобывающего общества, находится из численного решения методом Ньютона уравнения для определения чистого дисконтированного дохода.
Оптимизация накопленной добычи газа
В условиях рыночной экономики план добычи для группы месторождений нельзя считать заданным, и возникает задача оптимизации стратегий разработки группы месторождений [2, 6]. Важнейшим критерием является накопленная добыча газа; максимизация накопленной добычи – это удовлетворение спроса на газ, валютная выручка и эффективное использование запасов. Но чистая стратегия максимизации накопленной добычи является весьма затратной (большие объемы буровых работ) и неэффективной с точки зрения транспорта газа. Поэтому ищется не только оптимальное решение для данного критерия, но и множество близких к нему решений, что позволяет далее проводить многокритериальную оптимизацию по дополнительным критериям.
Имитационный характер модели группы месторождений не позволяет задать целевую функцию и ограничения оптимизационной задачи аналитически.
Поэтому непрерывная задача оптимизации накопленной добычи сводится к дискретной за счет введения равномерной сетки с параметрами 
, покрывающей область выхода траекторий планов добычи по группе на «полку», где 
– количество узлов сетки по оси ОХ (максимальное количество лет выхода добычи на «полку»), а 
– количество узлов по оси OY (количество уровней добычи). Решение задачи ищется на конечном множестве 
допустимых траекторий планов добычи по группе, проходящих через узлы такой сетки. Это – целочисленные векторы планов вида 
такие, что 
Необходимо найти такое решение , что
а также множество элементов N, близких к оптимальному, такое, что
Область допустимых решений можно сузить за счет использования таких ограничений на варианты планов, как задаваемые ЛПР верхнее и нижнее ограничения на траектории планов, траектория максимально крутого выхода плана добычи по группе на «полку», накопленная добыча по группе на начало планового периода.
Для решения оптимизационной задачи используется модифицированный метод ветвей и границ [1], позволяющий находить не только оптимальное, но близкие к нему по значению функционала накопленной добычи решения из 
.
Разбиение множества решений G на подмножества и формирование векторов планов производятся справа налево – от конца временного периода выхода на «полку». Тогда в каждом подмножестве разбиения будут находиться векторы планов, у которых правые части совпадают, а левые – не определены (различаются) вплоть до окончания процесса порождения векторов планов, т.е. для любых справедливо и
Определяются оценочная функция добычи и оценочная функция накопленной добычи такие, что для любого плана и справедливо , где – динамика добычи газа по группе. При этом до момента начала падения добычи по группе при уровне «полки» p и на этапе падающей добычи по группе.
На множестве 
вводится отношение порядка (доминирования) £ и доказывается, что оценочная функция монотонна по , т.е. из следует . Тогда в качестве верхней оценки произвольного подмножества используется оценочная функция для доминирующего вектора плана такого, что ему соответствует самая верхняя траектория выхода плана добычи а «полку» среди всех траекторий планов из , то есть где для и любого .
Наконец, доказывается основное условие применимости метода ветвей и границ: показывается, что функция на самом деле является оценкой (соответствует исходному функционалу и быстро рассчитывается), является верхней оценкой и не возрастает по мере разбиения на подмножества [6].
Предложенный подход совмещает достоинства традиционной и многокритериальной оптимизации, нивелируя их недостатки. Так, при традиционной оптимизации не для всякой задачи можно найти оптимальное решение за приемлемое время и не учитывается многокритериальность реальных задач. При этом нахождение точного оптимального решения по основному критерию не всегда оправдано, поскольку такое решение обычно неудовлетворительно по остальным критериям оценки решений.
Многокритериальная оптимизация
Для каждого варианта решений из множества близких работает имитационная модель группы месторождений, чтобы на основании выходных показателей модели рассчитать (как суммы по годам и по месторождениям) агрегированные показатели - критерии оценки данного варианта.
Средства многокритериальной оптимизации позволяют найти реальный (рациональный) [1] вариант стратегии развития группы месторождений как наилучший по заданным критериям, таким как объем накопленной добычи газа, величина и длина «полки», капиталовложения, чистая прибыль, цена на газ, NPV и т.д. Анализ и выбор вариантов производится при помощи стандартных методов, таких как нахождение множества Парето, линейная свертка значений критериев, поиск вариантов в окрестности идеальной точки и т.д. Сохраняется последовательность вложенных друг в друга множеств отобранных вариантов, поэтому всегда можно произвести откат к предыдущему уровню процесса и изменить его направление и/или параметры.
Окончательный вариант стратегии разработки группы месторождений выбирается ЛПР по неформализованным критериям оценки на основании визуального анализа результатов многокритериальной оптимизации в виде профилей. Каждому варианту соответствует ломаная, соединяющая значения различных критериев, причем критерии отображаются по оси ОХ, а их значения – по оси ОУ (рис. 2). После выбора ЛПР окончательного варианта стратегии для реализации вновь работает имитационная модель, формирующая полный комплекс показателей для данного варианта.
Учет неопределенности исходных данных
Неустранимым качеством экономической среды является неопределенность, поэтому задачи моделирования и оптимизации разработки группы газовых месторождений должны решаться с учетом неопределенности исходных данных, таких как запасы газа, дебиты скважин, цены на газ и т.д. Хотя наиболее часто для учета неопределенности, в том числе в нефтегазовой отрасли, применяют аппарат теории вероятностей, для рассматриваемых задач более адекватным является применение нечетких множеств по следующим причинам:
· применение классических вероятностей оправдано лишь для статистически однородных случайных событий, когда можно определить случайные величины с известными законами распределения и их параметрами;
· не требуется адекватного задания вида и параметров плотностей вероятности для недетерминированных исходных данных, что не всегда возможно;
· снимается проблема учета взаимной зависимости исходных данных, которая сама по себе является нечеткой и во многом определяется предпочтениями ЛПР;
· при использовании вероятностных моделей резко возрастает вычислительная сложность решаемых задач, особенно оптимизационных, из-за необходимости выполнять арифметические операции с плотностями вероятности случайных величин.
Как известно, под нечетким множеством понимается совокупность
где – U универсальное множество, а – 
функция принадлежности, которая характеризует степень принадлежности элемента нечеткому множеству и принимает значения в некотором линейно упорядоченном множестве 
– множестве принадлежностей (обычно отрезок [0, 1]).
В приложениях широко используются нечеткие числа (обычно треугольные или трапециевидные) – нечеткие множества специального вида, имеющие функцию принадлежности в виде треугольника (трапеции), которая задается упорядоченной тройкой (четверкой) чисел, определяющих вершины этих геометрических фигур.
При этом функции принадлежности нечеткого множества можно сопоставить некоторое характеризующее ее детерминированное значение при помощи одного из методов дефаззификации, например, метода центра тяжести.
Неопределенность в подсчете запасов (ресурсов) газа различных категорий является наиболее значимой среди всех видов неопределенности исходных данных. Поэтому учитываются различные вопросы анализа запасов газа различных категорий на основе использования аппарата нечетких множеств: системная модель категорий запасов, оценка достоверности запасов, модель движения газа по категориям запасов, проблемы суммирования запасов газа различных категорий и т.д.
При решении оптимизационных задач при помощи методов нечеткого программирования целевая функция и ограничения должны быть заданы аналитически, что невозможно из-за имитационного характера модели группы газовых месторождений. Поэтому предлагается сохранить общую схему решения, диалоговый интерфейс и программное обеспечение, реализованные для детерминированного случая [2, 5], заменив операции с детерминированными значениями на операции с нечеткими числами (так называемое нечеткое расширение детерминированной задачи).
Для эффективного ввода, хранения, обработки и вывода недетерминированных данных предлагаются следующие решения [7]:
· недетерминированные исходные данные задаются по выбору пользователя лишь для некоторых месторождений и лишь для некоторых показателей;
· пользователь определяет тип вводимых данных – нечеткое трапециевидное или треугольное число, интервальное число, детерминированное значение, а также параметры функции принадлежности нечеткого числа;
· все перечисленные типы данных хранятся в унифицированном формате с динамическим выбором способа их обработки;
· для сокращения времени расчетов при работе с недетерминированными данными производится модификация программного кода (для выделения фрагментов кода, работающих только с детерминированными величинами) и программная реализация арифметических операций над нечеткими числами на языке Ассемблера;
· выводимые на экран в виде таблиц и графиков результаты являются детерминированными результатами дефаззификации, поэтому по желанию ЛПР для детального анализа могут выдаваться график и параметры функции принадлежности для каждого соответствующего нечеткого числа.
Вопросы программной реализации
Рассмотренный выше математический аппарат был реализован в Системе перспективного планирования добычи газа (СПДГ) [2, 4] и Системе моделирования и оптимизации добычи газа (СМОД) [2, 5], предназначенных для формирования долгосрочных стратегий разработки группы газовых месторождений газодобывающего предприятия или региона по укрупненным показателям. Эти системы позволяют осуществлять комплексное планирование разработки группы месторождений на длительный промежуток времени по минимальной исходной информации за счет использования укрупненных нормативов. Системы учитывают возможную неоднородность информации для различных месторождений группы, позволяют получать качественно новые плановые решения, обеспечивают многовариантные расчеты и выбор реального плана для внедрения с использованием многокритериальной оптимизации.
Использование обеих систем целесообразно в следующих случаях: значительное количество месторождений в группе, долгосрочный период планирования, новые месторождения, минимальная и/или прогнозная информация о месторождениях, планирование по укрупненным показателям для принятия стратегических управленческих решений.
Система СПДГ была разработана по заказу Мингазпрома СССР и в свое время широко использовалась при формировании долгосрочных планов разработки групп месторождений Западной и Восточной Сибири, Восточной Украины, шельфа Черного моря, Ямбургского и Оренбургского месторождений.
Система СМОД была разработана по заказу ПАО «Газпром» на языке C# в инструментальной среде Visual Studio под Windows. В отличие от СПДГ, в этой системе добавлена возможность оптимизации по критерию максимума накопленной добычи, хотя не реализован расчет ТЭП транспорта газа. СМОД может работать в двух режимах: имитационном и оптимизационном, причем в обоих случаях формируется множество вариантов для последующей многокритериальной оптимизации. В режиме имитации варианты формируются при изменениях управляющих параметров системы, а в режиме оптимизации – в результате решения задачи максимизации накопленной добычи газа.
На схеме работы СМОД (рис. 3) используются следующие обозначения: Ввод – ввод исходной информации, Добыча – определение динамики добычи газа по месторождениям, ТЭП – расчет технико-экономических показателей добычи, Критерии – расчет критериев оценки вариантов, Оптимизация – решение задачи оптимизации накопленной добычи газа, МКО – многокритериальная оптимизация, Вывод – вывод результатов в форме таблиц и графиков.
Заключение
Успешное использование автоматизированных систем планирования для решения важнейших задач развития газового комплекса страны подтвердило адекватность разработанных имитационных и оптимизационных экономико-математических моделей, описывающих процесс разработки группы газовых месторождений, для нужд долгосрочных прогнозных расчетов по укрупненным показателям.
При дальнейшем развитии данной проблематики предполагаются программная реализация учета неопределенности исходных данных (в первую очередь запасов газа различных категорий) и использование результатов моделирования как количественной базы при решении задач стратегического управления газодобывающим предприятием.
Литература
1. Хачатуров В.Р. Математические методы регионального программирования / В.Р. Хачатуров; ВЦ РАН. – М.: Наука, 1989. – 304 с.
2. Хачатуров В.Р. Планирование и проектирование освоения нефтегазодобывающих регионов и месторождений: Математические модели, методы, применение / В.Р. Хачатуров, А.Н. Соломатин, А.В. Злотов и др; ФИЦ ИУ РАН. – М.: УРСС: ЛЕНАНД, 2015. – 304 с.
3. Вяхирев Р.И. Теория и опыт добычи газа /Р.И. Вяхирев, Ю.П. Коротаев, Н.И. Кабанов. – М.: ОАО Издательство «Недра», 1998. – 479 с.
4. Маргулов Р.Д. Cистемный анализ в перспективном планировании добычи газа / Р.Д. Маргулов, В.Р. Хачатуров, А.В. Федосеев; ВЦ РАН. – М.: Недра, 1992. – 287 с.
5. Соломатин А.Н. Моделирование и оптимизация разработки группы газовых месторождений / А.Н. Соломатин, В.Р. Хачатуров, А.К. Скиба // Экспозиция Нефть Газ. – 2017. – № 1. – С. 56–59.
6. Соломатин А.Н. Решение оптимизационных задач при формировании стратегий разработки группы газовых месторождений / А.Н. Соломатин // Труды МФТИ. – 2019. – Т. 11, № 4. – С. 26–36.
7. Хачатуров В.Р. Планирование разработки группы газовых месторождений с учетом неопределенности исходных данных / В.Р. Хачатуров, А.Н. Соломатин, А.К. Скиба // Экспозиция Нефть Газ. – 2015. – № 2. – С. 20–23.
