Перколяционный метод

Представлен перколяционный подход к моделированию и анализу гидродинамических процессов в пористых средах, позволяющий учитывать электрокинетические явления на границе раздела твердой и жидкой фаз. Возможности развитого подхода продемонстрированы на примере рассмотрения влияния данного эффекта как на свойства движущихся в поровом пространстве флюидов, так и на проницаемость самих пористых сред. Подход позволяет выяснить основные механизмы, определяющие характерные особенности макроскопических процессов и, соответственно, возможности влияния на них при разработке нефтегазовых месторождений.

Общие принципы современного подхода в подземной гидромеханике

Перколяционный подход ставит своей целью учесть при описании движения флюидов в пористых средах особенности строения порового пространства и взаимодействие флюидов с поверхностью минералов. Математическим фундаментом этого подхода является теория перколяции.

Транспортные или кондуктивные свойства пористых сред определяются, прежде всего, наличием проводящих поровых каналов. Наиболее простая и удобная модель, позволяющая описывать взаимодействие этих каналов и, как результат, формирование проницаемости пористой среды как макрообъекта – пространственная решетка проводящих капилляров. При этом естественно считать, что радиусы капилляров в такой решетке распределены в соответствии с реальной порометрической кривой – функцией плотности распределения поровых каналов по радиусам f(r).

Перколяционная модель, позволяющая описать проводимость неоднородной среды, если известна функция распределения элементов структуры по величине их собственной проводимости, развивалась в работах автора, например [1, 2]. Она базируется на обобщении модели бесконечного кластера (БК) Шкловского – де-Жена (рис. 1) на случай, когда решетка содержит проводящие элементы, имеющие распределение по величине их собственной проводимости. Исходя из представлений о структуре БК, приходим к задаче определения проводимости его скелета, ответственного за транспортные свойства БК и, соответственно, пористой среды в целом.

Рис. 1. Схематичное представление структуры БК, положенное в основу модели Шкловского - де-Жена без учета извилистости (фрактальности) составляющих его проводящих путей.

Проводящие каналы, по которым осуществляется течение флюида, представляют собой цепочки гидравлически связанных между собой поровых каналов (капилляров) (рис. 2) различного радиуса r (проводимость σ ~ r^λ, где λ определяется характером процесса переноса). Проводимость цепочки будет определяться самым тонким капилляром, поэтому его радиус естественно считать основной характеристикой такой цепочки. Используя его, введем понятие «r-цепочки» – будем так именовать цепочки капилляров, в которых минимальный радиус cоставляющих ее капилляров лежит в диапазоне.

Скелет БК будут составлять r-цепочки всего диапазона области определения функции , причем их количество для каждого будет свое и, вообще говоря, заранее неизвестно. Поэтому необходимо построить некоторый алгоритм определения количества образовавшихся r-цепочек, их проводимостей и последующего суммирования с целью нахождения суммарной проводимости БК. Именно данный алгоритм и является главным элементом перколяционной модели.

Представляемый здесь подход основан на введении определенной систематизации или иерархии r-цепочек, которая позволяет реализовать указанную выше схему суммирования.

Рис. 2. Схема формирования проводящих r-цепочек.

Учет данного обстоятельства позволяет получить окончательное выражение для средней проводимости единицы длины элемента порового 3D пространства (моделирующей его пространственной решетки капилляров)

Численный коэффициент g (порядка единицы), зависящий от типа решетки, призван скорректировать тот факт, что перетоки между проводящими параллельными цепочками не были учтены. При получении выражения (6) учтено численное значение показателя извилистости, связанного с фрактальным поведением элементов склета БК

Проиллюстрируем возможности развитого математического аппарата на примере исследования ряда явлений, возникающих при течении пластовых флюидов к коллекторах.

Эффективная вязкость минерализованной воды при течении в пористой среде.

Чем больше отношение площади поверхности соприкосновения флюида с твердым телом к объему движущегося флюида, тем сильнее течение отличается от объемного или так называемого «течения капельной жидкости».

В ряде экспериментов по исследованию течения флюидов в пористых средах [3, 4, 5] отмечалось превышение эффективной, то есть наблюдаемой в эксперименте, вязкости по сравнению с ее классическим значением для капельной жидкости. Причем особенности течения в микроканалах зависят от природы жидкости и геометрических параметров канала.

В работе [6] построен модель, позволяющая рассчитывать эффективную вязкость при фильтрационном течении электролитов и проведена её верификация путём сопоставления с экспериментальными данными.

Пусть жидкость, текущая по решетке под влиянием приложенного градиента давления, представляет собой раствор симметричного электролита, обладающий диэлектрической проницаемостью и вязкостью . При этом на стенках капилляров существует дзета-потенциал .

Для вывода зависимоcти макропараметров течения от микрохарактеристик среды получим вначале соотношение между внешним перепадом давлений в среде и расходом жидкости по каждому проводящему пути в такой системе.

В качестве первого шага рассмотрим течение по отдельному каналу радиуса а (рис.3).

Рис. 3. Схема электрокинетического течения в капилляре.

Массовая сила, действующая в такой системе, будет определяться взаимодействием потенциала протекания с зарядом ионного облака объемной плотностью . Таким образом, установившееся течение в капилляре будет описываться уравнением Навье-Стокса следующего вида

Здесь – модифицированная функция Бесселя первого рода нулевого порядка, обычно называют безразмерным электрокинетическим радиусом (отношение радиуса канала к толщине ДЭС).

При установившемся электрокинетическом течении в канале ток проводимости равен току протекания, следовательно, общий ток в (10) равен нулю. Учитывая также, что в соответствии с принципом

определяющее эффективную вязкость электролита в процессе его течения в пористой среде.

На рис. 4 отражены результаты расчёта величины в случае, когда максимальный радиус порометрической кривой был постоянным, а минимальный радиус варьировался. Видно, что влияние ДЭС на течение жидкости возрастает при увеличении доли капилляров с меньшим радиусом.

Установлено, что при наличии достаточного числа каналов с радиусом, сравнимым с толщиной ДЭС, скорость фильтрации электролита значительно (в разы) меньше предсказываемой теорией из расчётов, не учитывающих влияние ДЭС, что интерпретируется как возрастание вязкости (эффект электровязкости). Результаты расчетов согласуются с данными проведенного авторами эксперимента.

Соответственно, при проектировании разработки необходимо учитывать, что величина вязкости капельной жидкости может существенно отличаться от её эффективной вязкости при течении в пористой среде.

Перколяционный анализ гистерезиса относительных фазовых проницаемостей с учетом наноразмерных явлений на поверхности порового пространства

В процессе разработки месторождения такими методами, как циклическое заводнение и смена направления фильтрационных потоков, вытеснение нефти водой сменяется вытеснением воды нефтью и наоборот. Такое изменение в характере движения влияет на зависимости относительных фазовых проницаемостей (ОФП) от водонасыщенности. Это явление называется гистерезисом ОФП при дренаже и пропитке. Пренебрежение этим явлением при гидродинамическом моделировании нефтяных месторождений приводит к существенным ошибкам.

Наличие гистерезиса ОФП отмечалось в ряде экспериментальных работ [7-9].

Математическая модель данного явления построена и исследована в работах [10-11].

В качестве основных механизмов возникновения гистерезиса были учтены следующие явления. В процессе дренажа активные компоненты нефти адсорбируются на поверхности породообразующих минералов [7], что приводит к формированию нефтяной нанопленки, не меняющей вид f(r), т.к. толщина пленки на несколько порядков меньше радиуса самых мелких капилляров. Это приводит к гидрофобизации поверхности капилляров, что рассматривается в качестве первого механизма возникновения гистерезиса. Перемешивание флюидов в процессе дренажа может приводить к изменению реологических свойств обеих жидкостей. Таким образом, второй механизм заключается в изменении реологических свойств нефти и воды.

В результате прохождения нефти через изначально гидрофильную пористую среду поверхностные свойства некоторой части капилляров меняются. Для описания движения флюидов в такой среде используется перколяционная модель среды с микрогетерогенной смачиваемостью [1], в которой вводятся параметры κ и α: κ – доля капилляров с неизмененными свойствами поверхности (тип 1), (1-κ) – доля капилляров с измененными свойствами поверхности (тип 2), α=cosθ₂/cosθ₁, где θ₁ и θ₂ – углы смачивания в капиллярах 1-го и 2-го типа соответственно. При этом поверхностные свойства могут поменяться двумя принципиально разными способами (рис. 2): либо уменьшится «степень гидрофильности» поверхности капилляров (0<α<1), либо же их поверхность и вовсе станет гидрофобной (α<0).

Рис. 5. Профиль капилляра в области контакта нефти и воды для дренажа (слева) и пропитки (справа) с указанием направления вытеснения

Таким образом, техника расчета [1] позволяет определить зависимости ОФП от водонасыщенности для пористой среды с микрогетерогенной смачиваемостью.

Перколяционная модель гистерезиса ОФП при изменении пластических свойств фильтрующихся жидкостей представлена в [11] и опирается на модель [1]. В модели предполагается, что вода является ньютоновской жидкостью при дренаже и псевдопластической при пропитке. Если нефть обладает псевдопластическими свойствами во время дренажа, то во время пропитки она становится ньютоновской; если же нефть является ньютоновской жидкостью при дренаже, то при пропитке она становится псевдопластической или вязкопластической. Выражения для ОФП строятся аналогичным образом, при этом закон течения в отдельном капилляре определяется реологическими свойствами флюида.

На рис. 6 представлено сравнение кривых ОФП, рассчитанных по двум представленным выше перколяционным моделям, с экспериментальными данными по двум образцам.

Рис. 6. Сравнение экспериментальных (слева) и расчетных кривых ОФП, построенных по гидрофобизационной модели (в центре) и по «пластической» модели (справа) для образца 114 (доломит) – верхние 3 зависимости, и для образца 4 (кальцит) – нижние 3 зависимости.

Таким образом, представленная модель носит достаточно универсальный характер и позволяет учитывать различные механизмы изменения поверхностных свойств порового пространства. Наилучшее согласие с представленным экспериментом достигается при выборе в качестве основного механизма гидрофобизации части поверхности порового пространства при вытеснении воды нефтью. Значения параметров κ и α для конкретного процесса определяются путем сравнения расчетных кривых ОФП с экспериментальными данными.

В дальнейшем представленную методику можно использовать для расчета ОФП в любой пористой среде, имея данные лишь о минералогическом составе и дифференциальную кривую распределения пор по радиусам f(r). Экспериментальные исследования на кернах с целью определения кривых ОФП требуют значительных временных затрат, в отличие от экспериментальных измерений f(r). Произведя классификацию поведения гистерезиса ОФП на образцах различного минералогического состава и определив для различных образцов значения параметров κ и α, можно, таким образом, экспериментально измеряя f(r), производить расчеты ОФП с учетом гистерезиса по указанной выше методике.

Учет влияния ионообменных процессов при совместном течении нефти и растворов электролитов в глиносодержащих коллекторах

Известно, что при нарушении химического равновесия в системе «раствор-порода» глинистые минералы изменяются в объеме под действием осмотических и ионообменных процессов, что существенно влияет на коллекторские свойства глиносодержащих пород. Кроме того, смена гидрохимического режима пласта может приводить к смене типа глинистого минерала, влекущего за собой разрушение молекулярной структуры глин и их дезагрегацию [12]. Помимо концентрации солей в воде, гидратация глинистых минералов также зависит от комбинации солей в растворе.

В последнее время растет интерес к третичному методу разработки нефтяных месторождений, называемому LSW (Low Salinity Waterflooding) [13]. Данный метод предполагает получение дополнительной нефти посредством закачки в пласт опресненной воды, либо воды иного химического состава, чем пластовая. Хотя причины роста нефтеотдачи при этих условиях на сегодняшний день пока до конца не исследованы, большинство исследователей связывают увеличение нефтеотдачи с высокой ионообменной способностью глинистых минералов породы.

В ряде экспериментов на различных керновых материалах [13-14] были определены условия, при которых зафиксирован рост коэффициента вытеснения при применении LSW. Среди них

· Значительная доля глинистых минералов в породе;

· Пластовая вода содержит двухвалентные катионы Ca²⁺ или Mg²⁺;

· Закачиваемая вода имеет пониженную концентрацию солей по сравнению с пластовой водой.

Расчет влияния закачки в коллектор воды с ионным составом и минерализацией, отличной от состава и минерализации пластовой воды, на эффективность заводнения представлен в работе [15].

При этом был проведен анализ изменения фильтрационно-ёмкостных свойств (ФЕС) глиносодержащего коллектора в процессе смены гидрохимического режима разработки пласта.

Оказалось, что пористость может изменяться в пределах 15-20% в зависимости от концентрации солей и ионного состава раствора и обменного комплекса глин.

Расчеты показывают, что вследствие усадки глин, при взаимодействии Na-бентонита с раствором хлорида калия происходит рост фазовой проницаемости по воде и снижение по нефти. Вследствие набухания, при взаимодействии K-бентонита с раствором хлорида натрия, происходит снижение фазовой проницаемости по воде и рост по нефти. Результаты теоретических расчетов подтверждаются экспериментальными исследованиями поведения ОФП в глиносодержащих пластах при фильтрации различных растворов электролитов.

В случае разбухания глин коллектор переходит в разряд тонкопоровых, поэтому необходим учет капиллярных сил. В связи с этим фильтрация флюидов рассматривалась в рамках модели Раппопорта-Лиса, а полная система дифференциальных уравнений в частных производных для определения концентрации солей в электролите C и водонасыщенности S имеет вид

где S_r – доля адсорбированной воды в породе (знак «+» перед S_r при набухании глин, «–» в случае усадки), F(S,C) – функция Бакли-Леверетта, q – удельный суммарный расход фаз, P_k(S,C) – функция капиллярного давления, J(S) – функция Леверетта, χ – поверхностное натяжение фаз, M_i(S,C) – подвижность фазы (i = 1 соответствует водной фазе), w_i – скорость фильтрации фазы, ΔP_i – разность между давлением на контуре и на стенке скважины в i-й фазе, R_k – радиус контура пласта, r_w – радиус скважины, K(C) – абсолютная проницаемость, f(ρ(C)) – функция плотности распределения капилляров по радиусам ρ, γ´ – коэффициент, отражающий наличие перетоков между проводящими цепочками (порядка единицы), ν´ – индекс радиуса корреляции, ρ_c – критический радиус капилляров, l – средняя длина капилляров, D^* – коэффициент, включающий в себя диффузию и гидродинамическую дисперсию, R´(C) – скорость гидратации. Действием гравитационных сил пренебрегаем.

Видно, что в сравнении со стандартной закачкой пластовой воды, закачка хлорнатриевого раствора дает прирост нефтеотдачи на 6%, а закачка слабоминерализованной воды дает прирост на 15%. Кроме того, смена гидрохимического режима значительно интенсифицирует разработку пласта. Так, нефтеизвлечение 60%, достигнутое закачкой пластовой воды за 77 лет, при закачке хлорнатриевого раствора достигается на 44 года раньше, а при закачке слабоминерализованной воды раньше на 52 года.

Циклическая закачка раствора электролита представляется более экономически выгодной по сравнению с постоянной.

Видно, что при частоте 0,01 год^-1 концентрация электролита в пласте незначительна, и, следовательно, фазовая проницаемость по нефти низкая, по воде – высокая. Кроме того, цикл закачки пластовой воды пришелся на период после прорыва воды к скважине, что усилило темп обводнения. Увеличение частоты приводит к тому, что после прорыва воды и на конец разработки пришелся цикл закачки электролита, что способствовало довытеснению нефти. При высоких частотах закачки (ω ≥ 1 год^-1) амплитуда колебания концентрации электролита в пласте падает, диапазон изменения ФЕС снижается, и, как следствие, снижается эффективность нефтевытеснения.

Проведенный анализ ионообменных процессов при течении минерализованных жидкостей в глиносодержащей пористой среде показал, что изменение объема глинистой компоненты приводит к изменению пористости на 15-20%. В результате объем пор, содержащих воду, уменьшается, и последняя «выдавливается» в нефтесодержащую часть порового пространства. Это приводит к дополнительному вытеснению нефти по сравнению со стандартным процессом заводнения пластовой водой.

Построенная модель позволяет подбирать ионный состав закачиваемой воды с целью улучшения технологических показателей разработки глиносодержащих нефтенасыщенных пластов.

Закачка в глиносодержащий пласт растворов солей высокоактивных металлов лития и натрия увеличивает нефтеотдачу на 10 и 8% соответственно (рис. 11). Применение циклической закачки позволяет вдвое снизить объем реагентов – солей лития и натрия – при потерях в нефтеотдаче по сравнению с постоянной закачкой на 2 и 1% соответственно.

Литература:

1. V.I.Selyakov, V.V.Kadet. Percolation Models for Transport in Porous Media. With Applications to Reservoir Engineering. Kluwer Academic Publishers. Dordrecht/ Boston/ London, 1996.

2. V.V.Kadet, A.A. Maximenko. Determination of relative permeabilities using the network models of porous media. Journal of Petroleum Science and Engineering, Vol. 28 Issued 3, pp. 145-152, November 2000.

3. Tuckermann, D. B., and Pease, R. F. W. High-performance Heat Sinking for VLSI // IEEE Electron. Device Lett. , 1981. № 2(5). P. 126.

4. Pfahler, J. N., Liquid Transport in Micron and Submicron Size Channels, Ph.D. thesis, Department of Mechanical Engeneering and Applied Mechanics, Univ. of Pennsylvania, 1992.

5. Peng, X. F., Peterson, G. P., and Wang, B. X. Frictional flow characteristics of water flowing through rectangular microchannels // Exp. Heat Transfer 7, 1994. P. 249.

6. V.V.Kadet, A.S.Koryuzlov. Effective Viscosity of Mineralized Water Flowing in a Porous Medium: Theory and Experiment. Theoretical Foundations of Chemical Engineerin, 2008, Vol. 42, No. 6, pp. 899-904.

7. Variations in bounding and scanning relative permeability curves with different carbonate rock types / Dernaika M.R., Basioni M.A., Dawoud A., Kalam M.Z., Skjæveland S.M. // Paper SPE 162265 presented at the 2012 Abu Dhabi International Petroleum Conference and Exhibition, Abu Dhabi, UAE, Nov. 11-14.

8. Wei J. Z., Lile O. B. Influence of wettability and saturation sequence on relative permeability hysteresis in unconsolidated porous media // [Electron. resource]. http://www.onepetro.org/mslib/app/Preview. do?paperNumber=00 025282&societyCode=SPE.

9. Braun E. M., Holland R. F. Relative permeability hysteresis: laboratory measurements and a conceptual model // SPE Reservoir Engineering., 1995, V. 10, № 3, рр.222-228.

10. V.V Kadet, A.M. Galechyan. Percolation Modeling of Relative Permeability Hysteresis. Journal of Petroleum Science and Engineering, vol. 119, pp. 139-148, July 2014.

11. Кадет В.В., Галечан А.М. Учет реологии флюидов в гидрофобизационной модели гистерезиса относительных фазовых проницаемостей. ПМТФ, 2017, Т. 58, N.6. С.58 - 68.

12. Tang G. Q., Morrow N. R. Influence of brine composition and fines migration on crude oil/brine/rock interactions and oil recovery // Journal of Petroleum Science and Engineering. 1999. V. 24.P.99-111.

13. Lager A., Webb K.J., Black C.J.J., Singleton M., Sorbie K.S. Low salinity recovery – an experimental investigation // Petrophysics. 2008. V. 49. P. 28-35.

14. Aboulghasem Kazemi Nia Korrani, Gary R. Coupled Geochemical-Based Modeling of LSW // SPE 169115-MS.

15. V.V Kadet, P.S. Chagirov. Investigation of Cyclic Electrolytic Solutions Injection in Clay-Containing Oil Reservoirs. Journal of Petroleum and Environmental Biotechnology, 2015, V.6, №5.