Ключевые слова: акустическая стимуляция, математическая модель, проницаемость горных пород, нефтеотдача, волновые технологии.
Согласно прогнозам, глобальный спрос на энергию продолжит расти из-за увеличения численности населения и активного экономического роста развивающихся стран. Несмотря на развитие возобновляемых источников энергии, к 2040 году потребление энергии возрастет на 48 %, что диктует необходимость в оптимизации использования существующих нефтяных ресурсов [1]. В контексте нефтедобычи важным остается баланс между удовлетворением спроса и снижением экологического воздействия, включая уменьшение выбросов парниковых газов. Одним из решений является внедрение технологий повышения нефтеотдачи (МУН), направленных на извлечение нефти из зрелых и истощенных месторождений, что особенно актуально, учитывая низкий уровень добычи нефти из традиционных коллекторов [2].
МУН и технологии улавливания углерода приобретают все большую значимость в условиях ограниченности запасов нефти и сложностей в освоении новых месторождений. На практике при первичной добыче удается извлечь лишь 30–50 % начальных запасов нефти из-за капиллярных эффектов и неоднородности коллекторов [3]. Это подчеркивает важность применения инновационных методов МУН, которые могут повысить коэффициент извлечения нефти. Среди таких методов значительную роль играют технологии с использованием упругих волн, которые показывают перспективные результаты в восстановлении добычи на зрелых и истощенных месторождениях. Например, применение вибросейсмических методов в ряде полевых исследований увеличивало дебит скважин на 10–65 % [4].
Одним из эффективных подходов является воздействие низкочастотных акустических волн, которые могут изменять структуру коллоидных отложений и увеличивать проницаемость порового пространства [5]. Эти волны способствуют улучшению фильтрационных свойств нефтяных пластов, снижению вязкости нефти и удалению блокировок в пористых средах. Примеры таких процессов включают поперечные колебания порового давления между зонами разной проницаемости и периодические градиенты давления в трещиноватых коллекторах, что положительно влияет на мобилизацию захваченных нефтяных капель и увеличение темпов добычи [6].
Настоящее исследование направлено на разработку математической модели метода акустической стимуляции скважин для увеличения проницаемости горной породы. Модель, основанная на уравнении Гельмгольца с импедансными граничными условиями и точными неотражающими границами на основе карт Дирихле-Неймана (DtN), позволяет учитывать взаимодействие упругих волн с пористой средой в условиях цилиндрических волноводов, характерных для перфораций скважин. Применяя численное сканирование частот, можно определить оптимальные параметры резонансного воздействия, что позволяет повысить коэффициент извлечения нефти из гетерогенных и трещиноватых коллекторов.
Исследования показали, что акустическое воздействие может временно увеличивать проницаемость пористой среды и способствовать разрушению коллоидных структур, повышая эффективность МУН на зрелых и новых месторождениях [7–10].
Математическая модель
Геометрия
Перфорированная скважина создается в два этапа: бурение и заканчивание. Бурение включает установку обсадной колонны, стабилизирующей конструкцию скважины за счет металлических труб, прикрепленных к стенкам цементом. На этапе заканчивания обсадная колонна подвергается обстрелу взрывчаткой в зоне нефтеносного пласта, создавая небольшие отверстия – перфорации, через которые нефть может поступать в скважину [9–15].
После выполнения этих операций можно выделить две зоны скважины: перфорированную область Ωp и цилиндрическую область, состоящую из двух полубесконечных цилиндров сверху (Ω+) и снизу (Ω−) от перфорированной области. Модель скважины в исследовании представлена локально возмущенным цилиндром, объединяющим области Ωw = Ωp ∪ Ω+ ∪ Ω−, а границы между перфорированной и цилиндрическими областями обозначаются Γ+ и Γ−. Преобразователь (акустический источник) занимает ограниченную область Ωs ⊂ Ωp с границей ∂Ωs = Γs. На рисунке 1 показаны все соответствующие области, рассматриваемые в математической модели.
Акустические волны
Преобразователь моделируется как гармонически колеблющаяся поверхность Γs, работающая на частоте f = ω/2π, где ω > 0 – угловая частота в радианах. В результате воздействия источника устанавливаются гармонические по времени режимы для давления P, плотности ϱ и скорости V, которые записываются как P(x, t) = Re { p(x)e− iωt }, ϱ(x, t) = Re { ρ(x)e−iωt } и V(x, t) = Re { v(x)e−iωt }, где t > 0 обозначает переменную времени, а p, ρ и v обозначают амплитуды давления, плотности и скорости соответственно, которые зависят только от положения x. Линеаризованные уравнения состояния и сохранения массы и импульса в этом случае имеют вид [9, 17]:
где c – скорость звука, ρ0 – равновесная плотность жидкости. Комбинируя уравнения, можно получить уравнение Гельмгольца, описывающее давление в области Ω~=Ωw∖Ωs:
где k = ω/c – волновое число. Диссипацию можно учесть через комплексное волновое число, однако в данном исследовании используются только реальные волновые числа.
Граничные условия
Граничные условия для поверхности скважины и преобразователя определяются как:
где ζ∈C – безразмерный поверхностный импеданс, а g – возбуждение на Γs. На границе Γw нормальная составляющая градиента давления пропорциональна полю давления p, а ζ зависит от механических свойств контактирующих материалов.
Импеданс стенки Z, определяемый как отношение амплитуды давления к нормальной скорости на границе перфораций, описывается выражением:
где H0 (1) и H1 (1) – функции Ханкеля первого рода, r0 – радиус перфорации, κ – проницаемость, η – вязкость жидкости, m=φη/(κB), φ – пористость, B – модуль объемного сжатия. Данное выражение справедливо, если r0 меньше длины волны λ = 2π/k.
Краевая задача
Поле давления p:Ω~→C, возбуждаемое преобразователем, удовлетворяет следующим условиям:
где ζ определяется по формуле (6) на границе перфораций и считается бесконечным на Γw. Задача учитывает особое условие излучения, адаптированное для цилиндрических областей Ω+ и Ω−.
Метод конечных элементов Дирихле-Неймана (DtN-FE)
Карта DtN
Метод DtN-FE используется для численного решения уравнений, описанных в краевой задаче (9), поскольку стандартные методы конечных элементов (FE) неприменимы напрямую из-за неограниченности области Ω. В основе метода лежат операторы DtN T±, которые отображают граничные значения p∣Γ± на Γ± в соответствующие нормальные производные ∂p/∂n∣Γ± на Γ± [11, 12, 19]. Эти операторы обеспечивают точные неотражающие граничные условия на Γ±, позволяя задать задачу в ограниченной области Ω=Ω∖(Ω+∪Ω−), что делает ее подходящей для решения методами конечных элементов.
Чтобы выразить операторы DtN, вводится цилиндрическая система координат (r, θ, z) с r ≥ 0, 0 ≤ θ ≤ 2π и z ∈ R, и верхняя и нижняя цилиндрические области задаются как Ω± = {r < R, ±z > H} ⊂ R 3 , где H > 0 обозначают высоту усечения и радиус соответственно. Применение метода разделения переменных к уравнению Гельмгольца в Ω± с граничным условием Неймана на {r=R} приводит к следующему серийному представлению для поля давления [13]:
где собственные функции и значения определяются с помощью функции Бесселя первого рода Jn и нулей ее производной j′n,m, а нормированные функции задаются через [19]:
Эквивалентная краевая задача
Используя непрерывность поля давления и его нормальную производную на Γ±, формулируется эквивалентная краевая задача [7–12]:
где условия на Γ± гарантируют непрерывность давления и скорости через искусственные границы
Результаты и их обсуждение
Этот раздел содержит результаты численного моделирования метода акустической стимуляции скважин (АСС), проведенного с учетом физических и геометрических параметров среды, указанных в таблицах. Данные моделирования были получены для оценки оптимальных условий передачи энергии и определения резонансных частот, на которых происходит максимальная стимуляция проницаемости породы.
Исходные физические и геометрические параметры
Численные значения физических констант для жидкости (сырой нефти) и пористости — того материала (песчаника), использованных в моделировании, приведены в таблице 1. Эти параметры были взяты из работ [9, 10].
Геометрические параметры скважин, включая размеры преобразователя и перфораций, были выбраны в соответствии с конструкциями, описанными в исследованиях [7, 11, 12], и представлены в таблице 2.
Эти параметры позволяют оценить передачу энергии через перфорационные отверстия и проверить эффективность резонансных режимов для различных частот возбуждения.
Резонансные частоты и передача энергии
На основе параметров, представленных в таблицах, проводилось моделирование для трех конфигураций скважин, содержащих 6, 8 и 10 перфораций. Коэффициент передачи энергии Q рассчитывался для диапазона частот, и результаты представлены на рисунке 2.
Резкие пики значения Q наблюдаются на определенных частотах, таких как 0,895, 1,585, 2,79, 3,695 и 5,525 кГц, что указывает на наличие резонансных эффектов внутри перфораций. При этих частотах амплитуда поля давления внутри перфораций достигает высоких значений, как показано на рисунке 3, что способствует улучшению проницаемости породы вблизи перфораций.
Пики на графике показывают частоты, на которых передача энергии через перфорации скважины достигает максимума. Это явление можно объяснить с помощью резонанса, при котором система (в данном случае перфорации) наиболее эффективно передает энергию на определенных частотах.
Влияние случайных возмущений конфигурации скважин
Для оценки устойчивости резонансных частот к случайным возмущениям была проведена серия экспериментов с модифицированными параметрами скважин, такими как радиус и глубина перфораций, а также положение преобразователя. На рисунке 4 представлены результаты расчета Q для таких возмущенных конфигураций, где наблюдается снижение корреляции между пиками, что указывает на изменение резонансных частот при случайных возмущениях.
Отдельные значения коэффициентов передачи энергии Qj для каждой перфорации в случайных конфигурациях представлены на рисунке 5. Эти результаты показывают, что, несмотря на изменения, локальные резонансные частоты все равно способствуют передаче энергии, хотя эффективность метода снижается по сравнению с симметричными конфигурациями.
На графике видно, что значения коэффициента передачи энергии значительно изменяются в зависимости от частоты для каждой перфорации. Это указывает на то, что каждая перфорация имеет свои оптимальные частоты, при которых передача энергии достигает локальных максимумов. Такие локальные максимумы отличаются для каждой перфорации, что отражает влияние геометрических факторов – например, вариации в радиусе и длине перфораций, а также в положении преобразователя.
Эта изменчивость в пиковых значениях подтверждает, что различные параметры перфораций и случайные изменения их формы могут смещать частоты, на которых достигается максимальная передача энергии. Таким образом, оптимальные частоты для максимизации Qj не являются одинаковыми для всех перфораций в пределах одной скважины, что усложняет задачу точного прогнозирования и требует индивидуальной настройки для каждой перфорации.
Изменение частоты влияет на Q таким образом, что для разных конфигураций перфораций пиковые значения появляются на различных частотах, что свидетельствует о необходимости учета уникальных геометрических параметров каждой перфорации при оптимизации передачи энергии.
Влияние проницаемости породы на передачу энергии
Дополнительно исследовалось влияние проницаемости породы (κ) на коэффициент передачи энергии. Моделирование проводилось для значений κ = 1×10−15 м² и κ = 1×10−13 м². Результаты представлены на рисунке 6, где видно, что при более высокой проницаемости (κ = 1×10−13 м²) значение Q возрастает, что подтверждает улучшение передачи энергии при более проницаемой породе.
На рисунке 7 показана зависимость коэффициента импеданса χ/∣ζ∣2 от проницаемости для разных частот возбуждения. Эти графики подтверждают, что увеличение проницаемости приводит к росту значения χ/∣ζ∣2, что положительно сказывается на эффективности метода АСС.
Влияние затухания и комплексных волновых чисел
Для моделирования затухания энергии в буровом растворе был введен параметр комплексного волнового числа k(x), который учитывает диссипацию энергии. Комплексные волновые числа с мнимой частью смещают резонансные частоты (рисунок 8), снижая значение Q из-за потерь энергии на тепловую диссипацию, однако резонансные пики остаются заметными.
Затухание существенно влияет на пики коэффициента передачи энергии Q. С увеличением мнимой части волнового числа, представляющей затухание, амплитуда пиков Q снижается, поскольку потери энергии ограничивают достижение высоких уровней передачи. Резонансные частоты также слегка смещаются, что обусловлено изменением условий резонанса. Пики становятся более широкими и менее резкими, указывая на снижение четкости резонансного поведения. При высоком затухании система теряет эффективность, и ни одна частота не обеспечивает значительной передачи энергии, что ведет к менее выраженным частотным максимумам.
Заключение
Проведенное исследование подтверждает высокую эффективность использования волновых технологий для интенсификации нефтедобычи на заключительных стадиях разработки месторождений. Разработанная математическая модель, основанная на уравнении Гельмгольца, позволяет оценить влияние акустических волн на проницаемость горных пород и распределение энергии в нефтяных пластах. Моделирование показало, что оптимальный выбор частот и параметров акустической стимуляции может значительно улучшить условия фильтрации нефти, снижая вязкость и разрушая отложения в поровом пространстве.
Результаты численных экспериментов продемонстрировали, что затухание, учтенное через комплексное волновое число, влияет на амплитуду и расположение резонансных пиков. Это смещение частотных максимумов и снижение коэффициента передачи энергии подчеркивают необходимость учета затухания для определения оптимальных параметров стимуляции. В условиях высокой частоты и низкого затухания достигается более эффективное воздействие на пласт, что подтверждает потенциальную применимость метода для интенсификации добычи на зрелых месторождениях.
Таким образом, акустическая стимуляция может стать важным инструментом для увеличения нефтеотдачи на поздней стадии разработки месторождений. Предложенная модель предоставляет возможности для дальнейших исследований и практического применения, служа основой для разработки инновационных методов увеличения добычи нефти в условиях высокой степени истощенности запасов.
Литература
1. Mohammed B.A., Shiferaw R.J., Iskandar D., Al-shami T.M., Minh D.L. Seismic Wave Excitation of Mature Oil Reservoirs for Green EOR Technology // Journal of Advanced Research in Fluid Mechanics and Thermal Sciences. 2023. Т. 103, № 2. С. 180–196. doi.org/10.37934/arfmts.103.2.180196.
2. Dai L., Zhang Y. Effects of low frequency external excitation on oil slug mobilization and flow in a water saturated capillary model // Petroleum. 2019. Т. 5, № 4. С. 375–381. doi.org/10.1016/j.petlm.2019.03.001.
3. Jeong C., Kallivokas L.F., Huh C., Lake L.W. Estimation of oil production rates in reservoirs exposed to focused vibrational energy // In SPE Improved Oil Recovery Symposium. 2014. doi.org/10.2118/169079-MS.
4. Wooden B. Technology Update: Seismic Stimulation: An Eco-Friendly, Effective EOR Alternative // Journal of Petroleum Technology. 2018. Т. 70, № 8. С. 21–23. doi.org/10.2118/0818-0021-JPT.
5. Kurawle I., Kaul M., Mahalle N., Carvalho V., Nath N., Amin Z. Seismic EOR-the optimization of aging waterflood reservoirs // In SPE Offshore Europe Oil and Gas Conference and Exhibition. 2009. doi.org/10.2118/123304-MS.
6. Kang P.S., Lim J.S., Huh C. Temperature dependence of relaxation time of hydrolyzed polyacrylamide solution for enhanced oil recovery // Journal of Industrial and Engineering Chemistry. 2019. Т. 78. С. 257–264. doi.org/10.1016/j.jiec.2019.06.004.
7. Алфаяад А.Г.Х., Кемалов Р.А., Кемалов А.Ф., Валеев Д.З. WaveWellTech: Инновационная волновая технология для интенсификации добычи нефти. Казань: Изд-во Казан. ун-та, 2024. 122 с. URL: https://dspace.kpfu.ru/xmlui/handle/net/183868?show=full.
8. Алфаяад А.Г.Х., Кемалов Р.А. Анализ влияния волновых эффектов на изменения реологических характеристик тяжелой нефти // Нефтегазовые технологии. 2022. № 2 (139). С. 55–58.
9. Pérez-Arancibia C., Godoy E., Durán M. Modeling and simulation of an acoustic well stimulation method // Wave Motion. 2018. Т. 77. С. 214–228. https://doi.org/10.1016/j.wavemoti.2017.12.005.
10. Cheng A.C.H., Blanch J.O. Numerical modeling of elastic wave propagation in fluid-filled borehole // Commun. Comput. Phys. 2008. Т. 3, № 1. С. 33–51.
11. Mullakaev M.S., Abramov V.O., Pechkov A.A. Ultrasonic unit for restoring oil wells // Chemical and Petroleum Engineering. 2009. Т. 45, № 3–4. С. 133–137.
12. Hagoort J. An analytical model for predicting the productivity of perforated wells // Journal of Petroleum Science and Engineering. 2007. Т. 56. С. 199–218.
13. Pérez-Arancibia C. Modeling and Simulation of Time-Harmonic Wave Propagation in Impedance Guides: Application to an Oil Well Stimulation Technology (Master’s thesis). Santiago: Pontificia Universidad Católica de Chile, 2010.
14. Beckham R.E., Abdel-Fattah A.I., Roberts P.M., Ibrahim R., Tarimala S. Mobilization of colloidal particles by low-frequency dynamic stress stimulation // Langmuir. 2010. Т. 26, № 1. С. 19–27. doi.org/10.1021/la900890n.
15. Jeong C., Kallivokas L.F., Kucukcoban S., Deng W., Fathi A. Maximization of wave motion within a hydrocarbon reservoir for wave-based enhanced oil recovery // Journal of Petroleum Science and Engineering. 2015. Т. 129. С. 205–220.
16. Алфаяад А.Г.Х., Валеев Д.З., Кемалов Р.А., Риффель Д.В., Брызгалов Н.И. Применение ультразвукового воздействия для повышения нефтеотдачи // Нефтегазовые технологии. 2023. № 2 (145). С. 36–43.
17. Марфин Е.А. Шумовой каротаж в скважине и виброакустическое воздействие на насыщенные жидкостью пласты. Казань, 2015. 45 с.
18. Jaber T., Hassan N., Yaser S., Ali T. Using ultrasonic as a new approach for elimination of inorganic scales (NaCl): an experimental study // Journal of Petroleum Exploration and Production Technology. 2018. Т. 8. С. 553–564. doi.org/10.1007/s13202-017-0369-4.
19. Алфаяад А.Г.Х., Кемалов Р.А., Кемалов А.Ф. Методика оценки физических характеристик ласта под воздействием упругих волн. Казань: Казан. Федер. ун-т, 2024. 82 с. URL: https://repository.kpfu.ru/?p_id=302632.
