Ключевые слова: буровой раствор, реология, вискозиметрия, реологические модели, неньютоновская жидкость, математическое моделирование, Wolfram Mathematica.
Изучению реологических характеристик технологических жидкостей при строительстве скважин посвящено множество исследований, имеющих различное прикладное применение. Реологические свойства буровых промывочных жидкостей в технологии строительства наиболее часто рассматриваются в задачах обеспечения качества выноса шлама [18, 25], контроля динамических давлений [19, 21] и фильтрации [1, 15]. При проектировании гидравлической программы бурения на основе ввода коэффициентов реологических моделей или показаний ротационного вискозиметра рассчитываются показатели качества очистки скважин и значения ЭЦП для каждого интервала [7, 8, 13]. Контроль реологических параметров технологических жидкостей также важен в операциях глушения скважин [4, 11], при ликвидации поглощений [20], при проектировании жидкостей гидравлического разрыва пласта (ГРП) [9] и других технологических операциях [6, 17]. Фактором, осложняющим как проектирование технологических жидкостей, так и последующий контроль их параметров непосредственно на промысле, являются термобарические условия, значительно отличающиеся на месторождениях Российской Федерации [12, 23]. Совокупность вышеперечисленного обосновывает актуальность оценки методов определения реологических параметров технологических жидкостей, в частности буровых растворов.
Научные основы методологии исследований реологии буровых промывочных жидкостей заключаются в восстановлении функциональной зависимости касательных напряжений от скорости сдвига на основании экспериментальных точек. Наиболее распространенным оборудованием для контроля параметров буровых растворов в промысловых условиях являются ротационные вискозиметры компаний Fann, Ofite и др. [14]. Также известна практика измерения вязкости растворов при низких скоростях сдвига (ВНСС) для строительства скважин с большим отходом от вертикали с использованием вискозиметра Brookfield или аналогичных [10]. Достоинством стандартных вискозиметров с механическим управлением, например Fann 35SA, является простота использования, в том числе метода обработки показаний, надежность и невысокая стоимость по сравнению с цифровыми. Расчеты коэффициентов реологических моделей для приборов данного типа осуществляются двухточечными методами. В современных цифровых вискозиметрах реализованы более точные методы расчета. В практике построения математических моделей на основании экспериментальных данных широкое применение имеет метод наименьших квадратов (МНК). Данный метод также может быть применен к показаниям ротационных вискозиметров механического управления с любым количеством скоростей вращения цилиндра. Следовательно, применение обоих методов для обработки экспериментальных данных ротационных вискозиметров позволяет оценить качество аппроксимации. В представленной постановке задачи оценки качества аппроксимации коэффициентами математических моделей выступают реологические параметры буровых растворов, рассчитанные двухточечными методами и МНК.
Наиболее часто применяемыми реологическими моделями для описания свойств буровых промывочных жидкостей являются модели:
вязкопластичной жидкости Шведова-Бингама:
(1)
степенной модели Оствальда-Де Ваале:
(2)
модифицированной степенной модель Гершеля-Балкли:
, (3)
где
– касательное напряжение сдвига, Па; 
– начальное напряжение сдвига, Па; 
– коэффициент консистенции, Па·сn; 
– безразмерный показатель неньютоновского поведения (нелинейности). Все вышеперечисленные уравнения классифицируются как модели неньютоновских сред. Размерность коэффициентов в реологических моделях является следствием выполнения условия однородности размерностей. Таким образом, в моделях (2) и (3) размерность коэффициента консистенции 
зависит от показателя нелинейности . Модель Гершеля-Балкли является наиболее универсальной и при помощи управления реологическими коэффициентами может принимать вид уравнений (1) и (2). Также модели (1)–(3) при определенных комбинациях коэффициентов могут принимать вид ньютоновской среды.
Стандартные реологические характеристики бурового раствора в допущении вязкопластичной реологической модели Шведова-Бингама включают в себя: статическое напряжение сдвига (СНС) (10 с/10 мин); динамическое напряжение сдвига (ДНС); пластическую вязкость (ПВ). Данные параметры измеряются с использованием вискозиметра ротационного Fann 35SA и формулами пересчета реологических коэффициентов из единиц прибора шкалы [23]. Стандартный двухточечный метод для построения модели Шведова-Бингама включает в себя формулы (4)–(5):
, (4)
, (5)
где 
– ПВ, сП; 
– ДНС, фут/100 фут2; 
,
– показания шкалы вискозиметра при 600 и 300 об/мин соответственно.
Полученное по формуле (4) значение ПВ переводится в систему СИ из расчета, что 1 сП равен 1 мПа·с. Для перевода напряжений сдвига из фут/100 фут2 в Па используют умножение результата расчета формулы (5) на 0,4788. Вычисленное таким образом начальное напряжение сдвига соответствует понятию ДНС. СНС определяется при 3 об/мин. Для построения степенной модели Оствальда-де Ваале также известен двухточечный метод с использованием формул (6)–(7) [23]:
, (6)
, (7)
где 
– коэффициент консистенции, дин·сn/см2; 
– показатель нелинейности реологической модели, безразмерный.
Результаты формулы (7) переводятся в систему СИ из расчета, что 1 дин/см2 равен 0,1 Па. Важно отметить, что в литературных источниках встречаются формулы, аналогичные формулам (6), (7), но при отсутствии пояснений размерностей величин их применение вызывает настороженность, так как в части случаев полученные результаты могут не описывать исходную эмпирическую зависимость.
Для построения реологических кривых с использованием всех показаний шкалы вискозиметра ,
,
,
,
,
Fann 35 SA могут быть использованы методы аппроксимации. Входными параметрами выступает экспериментальная зависимость напряжений сдвига 
от скорости сдвига 
. С использованием точек 
можно построить реологические модели (1)–(3) и получить искомые коэффициенты математическими методами. Перед применением методов аппроксимации необходимо представить экспериментальную зависимость 
в системе СИ. В источнике [23] приведены способы пересчета единиц шкалы прибора в скорости и напряжения сдвига и методы построения степенных реологических моделей для вискозиметров компании Fann. При использовании комбинации R1-B1 вискозиметра компании Fann можно получить напряжения сдвига в фунт/100 фут2
умножением показаний шкалы прибора на 1,0678 с дальнейшим переводом в систему СИ. При этом скорость сдвига в с-1 получается путем умножения частоты вращения в об/мин на 1,703. Для обработки экспериментальных зависимостей в альтернативу двухточечным методам применяется метод наименьших квадратов (МНК). Метод наименьших квадратов применяется для вычисления коэффициентов реологических моделей. Метод основан на требовании, чтобы сумма квадратов отклонений экспериментальных точек от модельных была минимальной, что формализовано в следующем виде:
, (8)
где 
– экспериментальные значения касательных напряжений, Па; 
– значение модельной функции при скорости сдвига 
, Па; 
– количество точек, по которым производится аппроксимация.
В общем случае, МНК реализован встроенными функциями программных пакетов. Для коэффициентов моделей Шведова-Бингама и Оствальда-де Ваале получены формулы для расчета. Рассмотрим вывод формулы для модели Шведова-Бингама (1). Для этого в качестве 
в выражение (8) подставляется (1). И условие (8) принимает вид:
. (9)
Из условия равенства нулю производных функции в точке минимума выводится система из двух линейных уравнений относительно коэффициентов 
, которая в матричном виде имеет вид:
. (10)
Решая данную систему методом Крамера, получим:
,
, (11)
,
откуда
, 
. (12)
Формулы для вычисления коэффициентов степенной модели Оствальда-де Ваале можно получить методом линеаризации, применяя операцию логарифмирования к формуле (2):
. (13)
Тогда, вводя замены
(14)
и обозначив за 
формулы (11), вычисленные в линеаризованных координатах 
, получим выражения для расчета коэффициентов:
(15)
Для определения коэффициентов реологической модели Гершеля-Балкли используются более сложные методики расчета. Среди них известны методики итерационного расчета [22]. Ввиду наличия неопределенностей в методах расчета коэффициентов реологической модели Гершеля-Балкли, для нее был реализован расчет по МНК с использованием функции Minimize пакета символьных вычислений Wolfram Mathematica.
При использовании методов аппроксимации, в том числе с использованием приближенных формул (4)–(7) и МНК в качестве критерия выбора реологической модели и метода построения, может быть использован скорректированный коэффициент детерминации 
, учитывающий сумму квадратов отклонений 
и количество степеней свободы выражения. Выбор данного показателя обоснован также постановкой задачи сравнения реологических моделей. Для вискозиметра Fann 35SA аппроксимирующая функция строится по 6 точкам. Аппроксимирующие функции представляют собой линейную двухпараметрическую модель Шведова-Бингама, нелинейную двухпараметрическую модель Оствальда-де Ваале и нелинейную трехпараметрическую модель Гершеля-Балкли. Скорректированный коэффициент детерминации рассчитывается по формуле (16):
, (16)
где – скорректированный коэффициент детерминации, безразмерный; 
– выборочный коэффициент детерминации, безразмерный; 
– количество параметров реологической модели.
Выборочный считается с использованием суммы квадратов отклонений и суммы квадратов отклонений экспериментальных значений от их среднего 
по формулам (9)–(11):
, (17)
, (18)
, (19)
– среднее значение касательных напряжений, Па.
Скорректированный коэффициент детерминации , рассчитанный для уравнений регрессии, соответствующих реологическим моделям, характеризует объясненную долю общей дисперсии экспериментальных данных с поправкой на число параметров модели [3, 5].
Сравнение методов расчета коэффициентов реологических моделей производилось на 6 промывочных жидкостях на водной основе плотностью 1040–1080 кг/м3 с условными наименованиями, соответствующими рецептурам: № 1 – глинистая; № 2 – полимерглинистая; № 3 – хлоркалиевая; № 4 – смолосодержащая; № 5 – полимерная; № 6 – безглинистая. Выбранные промывочные жидкости потенциально применимы к условиям бурения на некоторых месторождениях Западной Сибири. Результаты расчета двухточечными методами для реологических моделей Шведова-Бингама и Оствальда-де Ваале представлены в таблице 1 для лабораторной температуры в 21 °С и средневзвешенной скважинной температуры выбранного нефтегазоконденсатного месторождения Западной Сибири 41 °С. Для двухпараметрических реологических моделей и трехпараметрической модели Гершеля-Балкли был произведен альтернативный расчет с использованием МНК.
ТАБЛИЦА 1. Коэффициенты реологических моделей буровых промывочных жидкостей при 21 и 41 °С
РИСУНОК 1. Сравнение реологических кривых, построенных двухточечным методом и МНК для глинистого раствора (№ 1) при 41 °С
РИСУНОК 2. Сравнение реологических кривых, построенных двухточечным методом и МНК для полимерного раствора (№ 5) при 41 °С
Для реализации МНК использовался язык Wolfram Language программного пакета Wolfram Mathematica. На нем был написан программный модуль для обработки экспериментальных точек 
, передающихся в табличном формате. Сравнение реологических кривых, построенных двухточечным методом и МНК для глинистого и полимерного раствора при 41 °С, представлено на рисунках 1 и 2. Данные графики выбраны в качестве примеров для обобщения общих результатов. Критерием оценки качества аппроксимации выбран скорректированный коэффициент детерминации (16). Данный параметр является основным показателем качества аппроксимации, что подтверждается визуальным анализом реологических кривых. В результате расчетов установлено, что все жидкости проявляют неньютоновские свойства. Тому подтверждением является наличие начального напряжения сдвига 
и проявление псевдопластичных свойств 
. Расчет коэффициентов реологических моделей двухточечным методом по формулам (4)–(7) значительно отличается от расчета с использованием МНК и имеет более низкие значения скорректированного коэффициента детерминации. Модель Шведова-Бингама, построенная двухточечным методом для каждого случая, имеет наименьший коэффициент детерминации. Это объясняется отсутствием учета показаний вискозиметра при низких скоростях сдвига, которые учтены при применении МНК. В большинстве рассмотренных случаев модель Оствальда-де Ваале, построенная обоими методами, имеет сопоставимые по точности показатели аппроксимации, но имеется тенденция в пользу МНК. Модель Гершеля-Балкли для всех тестируемых жидкостей наиболее качественно аппроксимирует экспериментальные точки 
. Также в пользу ее выбора свидетельствует тот факт, что у каждого бурового раствора присутствует начальное напряжение сдвига. Недостатком модели является наибольшая сложность ее построения без использования программных средств, а также отсутствие общепринятых методик расчета гидравлических параметров бурения [13]. Тем не менее с каждым годом количество исследований особенностей гидравлических расчетов для реологической модели Гершеля-Балкли возрастает. Помимо аналитических исследований используются численные методы и методы компьютерной гидродинамики, реализованные в таких пакетах, как OpenFoam и Ansys Fluent [25].
В результате исследований поднимается вопрос о состоятельности применения реологических параметров, рассчитанных по показаниям ротационных вискозиметров двухточечными методами, с учетом их значительного отличия от результатов, полученных МНК. Наибольшая разница результатов расчетов и качества аппроксимации с использованием коэффициента детерминации установлена для модели Шведова-Бингами, широко распространенной в инженерной практике. Несмотря на распространение исследований псевдопластичных свойств буровых промывочных жидкостей в связи с развитием горизонтального бурения [16], в большинстве проектов на бурение скважин указываются параметры модели Шведова-Бингама, а при гидравлических расчетах используются упрощенные методики. Учитывая поднятую в данной статье проблематику в описании реологических характеристик буровых промывочных жидкостей с точки зрения вязкопластичных и псевдопластичных сред, менее изученным является вопрос описания их характеристик с точки зрения концепции вязкоупругих сред. Научные основы реологии буровых растворов как вязкоупругих сред, а также особенности их движения описаны в исследовании [2].
Работа выполнена в рамках государственного задания Министерства науки и высшего образования Российской Федерации FSRW-2026-0003 «Исследование процессов комплексного освоения недр Земли и глубокой переработки георесурсов».
Литература
1. Адонина, А.Е. Влияние реологических свойств буровых растворов на проникновение фильтрата в призабойную зону пласта / А.Е. Адонина, О.А. Нечаева // Ашировские чтения. – 2025. – Т. 2, № 17. – С. 145–148. – EDN HJVIVF.
2. Васильченко, С.В. Особенности гидротранспорта шлама в невертикальных скважинах / С.В. Васильченко. – Волгоград: Технологическая компания Шлюмберже, 2020. – 214 с.
3. Винстон, У.Л. Microsoft Excel 2013. Анализ данных и бизнес-моделирование. / У.Л. Винстон. – М.: Издательство «Русская редакция»; СПб.: «БХВ-Петербург», 2015. – 864 с.
4. Двойников, М.В. Технология глушения газовых скважин на регулируемом давлении / М.В. Двойников, Я.Д. Минаев, В.В. Минибаев [и др.] // Известия Томского политехнического университета. Инжиниринг георесурсов. – 2024. – Т. 335, № 1. – С. 7–18. – DOI 10.18799/24131830/2024/1/4315. – EDN QKPXVK.
5. Дрейпер, Н.Р. Прикладной регрессионный анализ / Н.Р. Дрейпер, Г.Смит. – М.: Диалектика, 2007. – 911 с.
6. Казазян, М.Г. Применение химических растворов селективного действия для ликвидации техногенных залежей углеводородов / М.Г. Казазян, К.И. Бабицкая, О.В. Тупицына, А.А. Пименов // Электронный научный журнал Нефтегазовое дело. – 2025. – № 5. – С. 68–83. – DOI 10.17122/ogbus-2025-5-68-83. – EDN QRGYUK.
7. Коваль, М.Е. Подходы к расчету эквивалентной циркуляционной плотности / М.Е. Коваль, В.А. Капитонов, В.П. Шакшин, А.А. Мокрев // Нефть. Газ. Новации. – 2021. – № 1 (242). – С. 29–33. – EDN VCIIRG.
8. Коваль, М.Е. Пример расчета эквивалентной циркуляционной плотности по стандарту API RP 13D / М.Е. Коваль, В.А. Капитонов // Строительство нефтяных и газовых скважин на суше и на море. – 2021. – № 11 (347). – С. 15–18. – DOI 10.33285/0130-3872-2021-11(347)-15-18. – EDN THRDQA.
9. Колесников, М.Н. Основы успешности ГРП на карбонатных коллекторах / М.Н. Колесников, В.Е. Подъячева // Новые технологии в ТЭК, энергоэффективность и энергосбережение в ТЭК: Материалы II Всероссийской научно-практической конференции, Ханты-Мансийск, 16–17 ноября 2023 года. – Ханты-Мансийск: Югорский государственный университет, 2023. – С. 172–178. – EDN SGLOZN.
10. Крылов, В.И. Современные технологические жидкости для заканчивания и капитального ремонта скважин. Часть 2 / В.И. Крылов, В.В. Крецул, С.В. Меденцев // Строительство нефтяных и газовых скважин на суше и на море. – 2015. – № 2. – С. 34–41.
11. Купавых, К.С. Оценка влияния эффективного давления на проницаемость призабойной зоны пласта (ПЗП) при капитальном ремонте скважин / К.С. Купавых, А.С. Купавых, Н.С. Шахов // Бурение и нефть. – 2023. – № S1. – С. 7–9. – EDN FPJXZU.
12. Кучин, В.Н. Буровые растворы на основе прямой эмульсии. Применение в скважинах с аномально низким пластовым давлением на месторождениях Восточной Сибири / В.Н. Кучин, И.М. Овчинникова, А.И. Шипулин, В.П. Полищученко // Деловой журнал Neftegaz.RU. – 2025. – № 4 (160). – С. 76–78. – EDN ACNJCR.
13. Лосев, А.П. Обоснование реологической модели утяжеленных буровых растворов на углеводородной основе для гидравлических расчетов / С.Г. Гаджиев, И.Н. Евдокимов, Н.Ю. Елисеев, А.П. Лосев // Бурение и нефть. – 2017. – № 7–8. – С. 66–71. – EDN ZBOSAL.
14. Лосев, А.П. Особенности реологических измерений глинистых суспензий / А.П. Лосев, И.И. Бачурин, С.М. Ватузов [и др.] // Бурение и нефть. – 2024. – № 7–8. – С. 72–75. – DOI 10.62994/2072-4799.2024.79.50.012. – EDN RJBPXO.
15. Минибаев, В.В. Новая цифровая модель фильтрации бурового раствора при первичном вскрытии низкопроницаемых отложений / В.В. Минибаев, Е.Ю. Камбулов, В.Г. Григулецкий, М.В. Двойников // Бурение и нефть. – 2023. – № S2. – С. 6–15. – EDN FQLFQD.
16. Миронов, Д.Р. Исследование влияния псевдопластичных свойств бурового раствора на значение потерь давления / Д.Р. Миронов // Modern Science. – 2024. – № 5-1. – С. 56–60.
17. Мохсен, А.М.А. Оценка влияния кислотных присадок на реологические свойства и технологическую эффективность смеси цвиттерионных и анионных поверхностно-активных веществ / А.М.А. Мохсен, В.В. Коновалов, П.В. Склюев // Известия Томского политехнического университета. Инжиниринг георесурсов. – 2024. – Т. 335, № 2. – С. 69–77. – DOI 10.18799/24131830/2024/2/4221. – EDN GTIHIV.
18. Никитин, В.И. Моделирование выноса частиц шлама на участке горизонтальной скважины в программном комплексе ANSYS Fluent с учетом вращения бурильной колонны и параметров реологической модели Гершеля-Балкли / В.И. Никитин, Н.Д. Бурахин // Строительство нефтяных и газовых скважин на суше и на море. – 2023. – № 2 (362). – С. 32–36. – DOI 10.33285/0130-3872-2023-2(362)-32-36. – EDN HKSBYA.
19. Парфенов, К.В. Научно-практические подходы к обеспечению устойчивости горных пород в осложненных условиях строительства скважины / К.В. Парфенов, О.А. Нечаева, С.Н. Парфенова // Нефтяное хозяйство. – 2025. – № 2. – С. 34–38. – DOI 10.24887/0028-2448-2025-2-34-38. – EDN YYAEUF.
20. Соловьев, А.Д. Исследование и оптимизация свойств изоляционного состава HimBlock-100 для ликвидации зон поглощений с высокой интенсивностью / А.Д. Соловьев, В.Н. Кучин, М.А. Косарев [и др.] // Деловой журнал Neftegaz.RU. – 2025. – № S8 (165). – С. 126–130. – EDN EAGJMG.
21. Старцев, В.А. Анализ опыта применения методов машинного обучения при бурении нефтяных и газовых скважин / В.А. Старцев, Г.В. Буслаев, А.В. Коноплянников // Строительство нефтяных и газовых скважин на суше и на море. – 2023. – № 9 (369). – С. 15–24. – DOI 10.33285/0130-3872-2023-9(369)-15-24. – EDN HJGCTG.
22. Klotz J.A., Brigham W.E. To determine Herschel-Bulkley coefficients // Journal of Petroleum Technology. – 1998. – № 11. – P. 80–81.
23. Leusheva, E. Effect of Temperature Conditions in Arctic Offshore Oil Fields on the Rheological Properties of Various Based Drilling Muds / E. Leusheva, V. Morenov // Energies. – 2022. – Vol. 15, No. 15. – P. 5750. – DOI 10.3390/en15155750. – EDN DNFRLW.
24. Mi Swaco. Руководство по буровым растворам для инженеров-технологов. Редакция 2.1. – Mi Swaco, 2009. – 1000 с.
Ovsepian, E.E. Drilling mud upward velocity modelling in Ansys CFX software / E.E. Ovsepian, E.L. Leusheva, V.A. Morenov // IV International Youth Applied Research Forum «OIL CAPITAL», IOP Conference Series Earth and Environmental Science, 2021. – P. 012020. – DOI 10.1088/1755-13
