Ключевые слова: газопроводы, программный комплекс, нестационарные модели течения, идентификация координат утечки.
Модельные методы обнаружения утечки газа базируются на «цифровых двойниках» исследуемого газопровода, т.е. на адекватных математических моделях транспортировки газа заданного состава в исследуемом газопроводе в заданном режиме. В нашей работе [1] представлен ПК «ТранS-APL» расчета течения газовой смеси по линейной части газопровода как в штатном (без утечки) установившемся режиме, так и в неустановившемся режиме, обусловленном появлением утечки газа. ПК «ТранS-APL» включает в себя:
ПК «ТранSшельф-t» [2], позволяющий рассчитать штатные (без утечки) установившиеся и неустановившиеся режимы неизотермического течения смеси газов;
ПК «ТранSшельф-rev» [2], реализующий расчет коэффициента
гидравлического сопротивления 
и суммарного коэффициента теплопередачи по экспериментальным данным, соответствующим штатному режиму течения в моделируемом газопроводе;
ПК расчета неустановившихся течений с заданной утечкой газа малой и средней интенсивности в магистральных газопроводах средних давлений.
В
книге [2] приведены примеры идентификации по ПК «ТранSшельф-rev» параметров и 
, расчет этих параметров по экспериментальным
данным, снятым на моделируемом газопроводе, обеспечивает адекватность
математической модели. Также в книге [2] приведены результаты расчетов по ПК «ТранSшельф-t» неустановившихся
течений по морским газопроводам, в том числе и при оледенении их внешней
поверхности в северных морях.
В настоящей работе предложен метод оперативного расчета местоположения утечки газа малой и средней интенсивности в магистральных газопроводах средних давлений и программный комплекс «ТранS-MPZ», реализующий созданный метод.
Модель неустановившегося течения в газопроводе при утечке газа
Возникновение утечки газа приводит к неустановившемуся течению в газопроводе, причем время выхода на новый установившийся режим может оказаться немалым. Для оперативного обнаружения модельными методами утечки газа необходимы решения прямой и обратной задач по модели неустановившегося течения, обусловленного возникновением утечки.
Модель неустановившегося течения для
магистральных газопроводов среднего давления в терминах удельного расхода 
, температуры 
, давления 
и плотности 
газа
для горизонтальных трасс вне области утечки имеет вид [1]
(модель 1):
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
Система уравнений (1)–(5) дополняется начальными и граничными условиями.
В
уравнениях (1)–(5) приняты следующие обозначения: 
–
время; 
–
координата вдоль оси газопровода; 
– плотность,
давление, температура и скорость газа; 
– внутренний
радиус газопровода; –
коэффициент гидравлического сопротивления; –
суммарный коэффициент теплопередачи; 
–
температура окружающей среды; 
–
газовая постоянная транспортируемой смеси газов; 
–
коэффициент сжимаемости газовой смеси; 
– удельная
изобарная теплоемкость газовой смеси; 
–
критические давление и температура газовой смеси, входящие в уравнение Бертло (5).
В
окрестности сечения газопровода (с размерной координатой 
), содержащего локальную утечку газа 
кг/с, в уравнение неразрывности (1)
добавляется слагаемое, моделирующее сток газа, а именно, при 
уравнение
неразрывности записывается в виде
здесь 
–
относительная величина утечки; 
–
постоянный массовый расход газа при установившемся режиме транспортировки; 
– площадь поперечного
сечения; 
–
ширина переходного слоя, приближенно заменяющего поверхность разрыва удельного
расхода. Выбор величины при
численном решении системы уравнений модели 1 зависит от относительной величины
утечки и, кроме того, от параметров расчетной сетки численного решения. Анализ
выбора величины для
задач газовой динамики содержится, например, в работе [3].
Упрощенная модель неустановившегося течения в газопроводе
Решения многочисленных задач по идентификации координаты утечки газа в установившихся режимах [4–6] свидетельствуют о том, что во многих случаях, когда изменение температуры газа составляет несколько градусов, можно ограничиться для расчета координаты утечки изотермическим приближением. Похожее заключение приведено, например, и в книге С.А. Коршунова [7]: «…численные расчеты продемонстрировали большую инертность определяемых параметров утечки от температуры…». В качестве постоянных значений температуры и коэффициента сжимаемости в изотермической модели целесообразно использовать их средние значения, вычисленные по соответствующей неизотермической модели установившегося течения в штатном режиме.
Другое допустимое упрощение модели неустановившегося течения связано с пренебрежимо малой величиной сил инерции по сравнению с давлением в потоке, характерной для большинства задач транспортировки газа.
С
учетом сказанного, упрощенная модель неустановившегося течения в газопроводе в безразмерной форме в терминах
безразмерных давления , удельного расхода 
, плотности , времени и координаты
может
быть представлена в следующем виде (указание волны у безразмерных величин опущено):
(модель 2)
(6)
(7)
(8)
При приведении к безразмерному виду
использованы характерные величины давления 
, плотности 
, скорости 
; характерные удельный расход 
и
время 
определены равенствами: 
, 
–
характерная длина. Здесь 
– средняя
адиабатическая скорость звука в газе, равная:
–
отношение средних удельных теплоемкостей газовой смеси при постоянном давлении
и постоянном объеме; 
, 
– средние
температура и коэффициент сжимаемости, рассчитанные по модели установившегося
неизотермической течения в штатном режиме для горизонтальной трассы.
Безразмерные комплексы 
модели
2 вычисляются по формулам:
(9)
В окрестности сечения газопровода
(с безразмерной координатой 
), содержащего локальную утечку газа,
размерное уравнение неразрывности (1.1) со слагаемым, моделирующим сток газа, в
безразмерной форме для принятых характерных величин в терминах давления и
удельного расхода преобразуется в следующее уравнение:
(10)
Безразмерный комплекс 
определен в формулах (9), безразмерная величина
равна:
Краевые условия для системы уравнений модели 2
До
возникновения утечки на входе в газопровод поддерживаются постоянное давление
и постоянная
температура 
:
Положим, что до возникновения утечки газа штатный
режим течения был установившимся, тогда в качестве начальных условий при 
для
нестационарной изотермической модели 2 задаются следующие условия:
постоянство удельного расхода вдоль газопровода и распределение давления, рассчитанное по изотермическому приближению модели установившегося течения. В безразмерной форме эти условия имеют в вид [1]:
(11)
Безразмерный
комплекс 
равен:
здесь 
Задание
граничных условий для квазилинейной гиперболической системы уравнений (6)–(8), которые
обеспечили бы существование и единственность ее решения, как известно [8], не
может быть произвольным. В рассматриваемом круге задач скорость потока положительная
и дозвуковая, поэтому на входе в газопровод и на выходе из него должна быть
задана одна и только одна из функций – либо давление , либо удельный расход . Рассматривались разные варианты задания граничных
условий.
В настоящей работе система безразмерных уравнений (6)–(8) при возникновении утечки малой и средней интенсивности решалась при следующих граничных условиях: безразмерные давления на входе и на выходе являются постоянными, равными их значениям в начальном установившемся режиме:
(12)
Численное решение системы уравнений модели 2 неустановившегося течения при возникновении утечки газа
Наш
опыт решения нестационарных неизотермических задач о течениях в газопроводах
средних и сверхвысоких давлений [2] свидетельствует о том, что для численного
решения этих задач может быть использована модифицированная явная двухшаговая
схема Лакса–Вендроффа, которая имеет второй порядок точности по и
по
в
области гладкости решения и требует соблюдения ограничения на величину шага по
времени, следующего из критерия Куранта–Фридрихса–Леви. Как
известно, схемы типа Лакса–Вендроффа просты в реализации, экономичны и допускают
распараллеливание. Недостатком этих схем является немонотонность, проявляющаяся
в появлении нефизических осцилляций численного решения (особенно в области
резких изменений сеточных функций), однако эти осцилляции проявляются в
сравнительно узкой области и не приводят к неустойчивости счета. Во всех
предыдущих расчетах по схеме типа Лакса–Вендроффа, приведенных в книге [2],
осцилляции не вносили существенной погрешности в решение, т.к. их модуль был
пренебрежимо мал по сравнению с абсолютной величиной рассчитываемых величин.
Известно большое количество монотонных численных схем решения квазилинейных гиперболических систем [8]. Все они имеют свои достоинства и недостатки, обзор и анализ этих схем содержится в книге [8]. В настоящей работе модифицированная схема Лакса–Вендроффа использовалась для численного решения системы уравнений (6)–(8) в области гладких решений, в области утечки газа вместо уравнения (6) на первом и на втором шагах схемы Лакса–Вендроффа использовалась численная аппроксимация уравнения (10), величины давления на границах области утечки полагались равными.
Идентификация величины утечки и ее местоположения на основе модели 2
Идентификация безразмерных параметров 
и 
утечки
газа формулируется как задача минимизации некоторой функции 
, которая зависит от измеренных массовых расходов
на входе и на выходе из газопровода: 
и
, от момента времени и
от фактического значения безразмерных параметров утечки и , подлежащих далее идентификации.
В
качестве момента времени в
задаче идентификации параметров утечки принимается момент возникновения утечки,
т.е. момент времени, в который появляется устойчивое отличие расходов 
и
(или) 
от
постоянного расхода в
начальном установившемся режиме.
Замечание 1
Ввиду отсутствия данных измерений
на реальном газопроводе в качестве таковых в представленных далее расчетах использовались
значения массовых расходов 
и 
, рассчитанные по модели 2 при заданных
безразмерных параметрах утечки и , которые затем подлежали определению.
Во всех расчетах использовался следующий набор неизменных параметров транспортировки природного газа с преобладанием метана по газопроводу постоянного круглого сечения:
Критические температура 
и
давление , а также газовая постоянная в
(13) соответствуют смеси газов из 12 компонент с преобладанием метана [2]. Варьировались
размерная величина (кг/с) утечки газа и ее местоположение 
(м).
При
решении задачи идентификации рассматривались разные варианты задания
минимизируемой функции . Наиболее эффективным оказался следующий
подход. Вводятся две минимизируемые функции 
и 
, зависящие от безразмерных параметров утечки
и 
:
(14)
. (15)
В равенствах (14) и (15) все
величины безразмерные. Функция 
в
правой части (14) задает поведение во времени безразмерного расхода на входе,
которое определяется по измеряемому массовому расходу 
на
входе (
); функция 
в
правой части (14) рассчитывается по модели 2, она задает поведение во времени
безразмерного расхода на входе при варьируемых параметрах утечки 
и . Во всех расчетах в качестве функции в равенстве
(14) принималась функция 
, рассчитанная по модели 2 (замечание 1).
Функции
и 
в
равенстве (15) имеют аналогичный смысл, но рассчитываются на выходе из газопровода при
.
Рисунок 1. Поведение
функции 
при 8%-ной утечке с
координатой z
км при 
минутам
На рисунках 1 а), б) приведен вид поверхности
безразмерной двумерной функции в заданной области изменений безразмерных
параметров 
. Область изменения параметра соответствует изменению величины утечки от
2 до 10 % (от массового расхода 
), область изменения параметра соответствует изменению координаты утечки 
(км) вдоль всего газопровода. Оба рисунка
задают поверхность значений функции в
момент времени 35 мин для реальной утечки величиной 8 %, расположенной в 25 км
от входа в газопровод. Отличие рисунков заключается только в выбранном масштабе по оси
ординат. На рис. а) наличие «оврага» практически
незаметно, тогда как на рис. б) видно,
что поверхность функции содержит протяженный овраг, т.е. имеет так
называемый «овражный вид». Проведенные расчеты функций 
(14) и (15) в разные моменты времени показали, во-первых, что функции 
и не
имеют различных локальных минимумов, а обладают одним глобальным минимумом в
месте утечки газа, во-вторых, что для разных параметров утечки вид этих функций
является «овражным».
Как известно [9], минимизация функции двух переменных, поверхность которой имеет «овражный вид», является сложной задачей нелинейной оптимизации. В книге [9] отмечается, что, несмотря на многочисленность существующих методов решения таких задач, эффективный универсальный алгоритм поиска минимума функции двух переменных вряд ли существует. Кроме того отмечается, что для создания эффективного метода решения подобных задач важна априорная информация о рассматриваемой функции.
Итерационный
метод Ньютона, предложенный в книге С.А. Коршунова [7]
для поиска минимума функции 
, обладая несомненным достоинством
– квадратичной скоростью сходимости, является малоэффективным и неуниверсальным
для подобных задач, поскольку метод крайне чувствителен к выбору начального
приближения и во многих случаях может просто расходиться.
Специфика
функций (14) и (15) заключается в том, что переменные 
являются независимыми. Это позволяет использовать
пошаговые методы поиска минимума функций. Вторая особенность состоит в том, что
на практике важно
быстро определить координату , чтобы оперативно приступить к устранению
утечки, при этом точность расчета величины утечки имеет меньшее значение.
Анализ
результатов численных расчетов функций и в разные моменты времени при разных утечках
газа малой и средней интенсивности, расположенных в разных местах газопровода,
для широкого круга задач о течениях в газопроводах среднего давления при граничных
условиях (12) привел к следующим выводам.
Вывод 1
Существует момент времени 
, в который допустим переход от
минимизации двумерных функций (14),
(15)
к минимизации одномерных функций 
и 
, которые определены равенствами:
(16)
. (17)
Важно, что при этом точность
рассчитанной размерной координаты 
утечки газа
оказывается приемлемой для решения задачи оперативного расчета места утечки. В формулах
(16), (17) величина 
приближенно равна значению искомой
величины утечки.
В
алгоритме идентификации безразмерной координаты утечки
используются обе функции и . Далее приведен алгоритм расчета величин и , входящих в определения функций и .
Вывод 2
Проведенные расчеты показали, что
для утечек, расположенных в газопроводе ближе ко входу, большая точность в
расчете координаты достигается
при использовании функции , рассчитанной по данным на выходе из
газопровода. И наоборот, для утечек, расположенных ближе к выходу из газопровода,
большая точность в расчете координаты достигается
при использовании функции , рассчитанной по данным на входе в
газопровод.
На
основе выводов 1, 2 предлагается следующий метод расчета координаты утечки газа по функциям
.
Алгоритм расчета величин и
Вводится
безразмерная функция 
, характеризующая поведение во времени
модуля разности безразмерных расходов на входе и выходе из газопровода:
, (18)
– безразмерное
время; 
и 
– массовые
расходы газа на входе и выходе соответственно, они являются измеряемыми
величинами (или рассчитываются по модели 2 при заданных параметрах утечки (замечание
1)).
Численное
исследование поведения функции (18)
при разных параметрах утечки из выбранного диапазона их изменений привело к
следующему выводу:
при изменении величины утечки существенно
изменяется только величина функции , а характер ее поведения во времени
остается практически одним и тем же, причем это верно для разных местоположений
утечки.
На
рис. 2–5 приведены поведения функции при разных величинах и координатах утечки.
Эти рисунки иллюстрируют приведенный выше вывод о поведении функции .
На рис. 2 представлено поведение
функции при 8%-ной утечке с координатой 
км,
на рис. 3 – поведение функции при
2%-ной утечке с координатой км,
на рис. 4 – поведение функции при
8%-ной утечке с координатой 
км,
на рис. 5 – поведение функции при
2%-ной утечке с координатой км.
Значения функции (рис. 2–5) рассчитывались численно по модели 2 для набора параметров (13) при начальном условии (11)
и при граничном условии (12).
Алгоритм расчета величин 
и
Величины
и входят в функции 
(16)
и (17).
Для их расчета
вводится дискретная функция времени
, которая характеризует скорость
относительного изменения модуля разности расходов на входе и выходе из газопровода.
Функция измеряется в процентах и определяется равенством:
. (19)
Важно,
что функция
легко вычисляется по измеренным значениям
расхода газа на входе и выходе из газопровода в дискретные моменты времени 
, начиная от момента возникновения утечки 
.
Величина
размерного интервала 
выбирается
на этапе проектирования газопровода в результате предварительного анализа
поведения функции для
моделируемого газопровода в исследуемом диапазоне изменений величин и 
. В частности, величина 
зависит
от возможностей измерительной аппаратуры.
Функция
во всех
задачах о нестационарном течении газа при утечке является монотонно убывающей, пропорциональной
поведению производной по времени функции (18). В дальнейших
расчетах для набора параметров (13) величина интервала полагалась равной 5 минутам.
Результаты
расчета функции для
набора параметров (13) представлены в виде таблиц. В таблицах 1–3 для параметров
(13) приведены значения функции 
% на интервале
времени от 25 до 55 минут с момента возникновения утечки с шагом 5 минут для
утечки средней интенсивности
кг/с, составляющей 8 %
от расхода 
кг/с,
и для утечки малой интенсивности
кг/с, составляющей 2 %
от расхода кг/с.
Заданная координата утечки 
для таблиц 1–3 равнялась 25 км, 50 км и 100
км соответственно при длине газопровода 150 км.
Таблица 1. Значения % для 
кг/с и для 
3 кг/с
при км
Таблица 2. 
Значения % для кг/с и для 3 кг/с при
км
Таблица 3. Значения % для кг/с и для 3 кг/с при
км
Анализ
данных расчета функции %, часть из которых представлена в таблицах 1–3, совместно с анализом
поведения функций (16) и (17) при разных значениях позволил предложить следующий алгоритм расчета
и 
1) По измеряемым величинам
расхода на входе и выходе рассчитываются дискретные значения функции %, по ним определяется
минимальное безразмерное время 
, при котором величина 
впервые удовлетворяет неравенству:
(20)
Значение
критерия 
определяется на этапе проектирования
газопровода в результате исследования поведения расхода на входе и выходе при
различных утечках газа. Функция является монотонно убывающей, начиная с
момента времени 
, отложенного от , поэтому момент времени определяется однозначно. Например, при 
из данных таблицы 1 следует: 
минут при величине утечки кг/с.
2) Искомое
безразмерное время , входящее в определения
функций 
и 
, полагается равным:
.
(21)
Например,
размерное время 
, соответствующее величине
(21), для рассмотренного выше примера
составляет 
(мин).
3) Величина равна модулю разности безразмерных расходов на
входе и выходе из газопровода в найденный момент времени :
(22)
функция
определена равенством (18).
После того как для заданного набора
параметров (13) величины и для функций и определены, решается задача минимизации одномерных функций на
заданном отрезке.
Идентификация координаты утечки газа сводится к поиску
минимума одномерной функции (или ). Наиболее известными
методами поиска экстремума функции на отрезке являются методы дихотомии,
золотого сечения и Фибоначчи [10]. В настоящей работе для поиска минимума функции
(или ) использовался метод дихотомии.
Параметры метода 
зависят от величины шага
по пространству в численном решении нестационарной задачи (модель 2). В
результате численного эксперимента определялась оптимальная величина 
.
Во
всех приведенных далее вариантах расчета координаты утечки методом дихотомии
потребовалось не более 12 итераций для определения с выбранной точностью 
.
Выбор функции или
Методом дихотомии по функции 
рассчитывается координата 
утечки газа. Найденная величина позволяет определить, в какой части
газопровода располагается утечка: ближе ко входу или к выходу.
Если
, в соответствии
с выводом 2
выбор функции в качестве минимизируемой функции является
правомерным. Искомой координате присваивается найденное значение: 
.
Если
, утечка располагается
ближе к выходу. В соответствии с выводом 2 должна быть выбрана функция . Методом дихотомии по функции
рассчитывается координата
Искомой координате утечки присваивается найденное значение , т.е. 
.
Алгоритм расчета координаты 
(м) утечки газа
1. По данным о
поведении массовых расходов на входе и выходе из газопровода после
возникновения утечки определяются значения функции 
(19).
2. По формулам (20),
(21) рассчитывается безразмерный момент времени перехода
к решению одномерной задачи идентификации.
3. По формуле (22)
рассчитывается безразмерная величина 
утечки газа в момент времени .
4. По рассчитанным
величинам , в соответствии с
формулами (16), (17) задаются одномерные функции 
5. На основе предложенного
алгоритма выбора одной из функций 
методом дихотомии рассчитывается безразмерная координата 
утечки газа. На каждой итерации в методе
дихотомии функция
рассчитывается по алгоритму численного решения
нелинейной системы уравнений модели (2) с начальным условием (11) и граничными условиями
(12).
Примеры расчетов
Расчеты проводились по созданному ПК «ТранS-MPZ», реализующему предложенный метод оперативного расчета местоположения утечки газа по данным измерений массовых расходов газа на входе и выходе из магистрального газопровода среднего давления. Предполагается выполнение следующих условий:
· до возникновения утечки режим транспортировки газа является установившимся;
· характеристики газопровода, режима транспортировки и смеси газов соответствуют набору параметров (13);
· после возникновения утечки на концах газопровода поддерживаются постоянные давления на входе и на выходе из газопровода;
· в качестве измеренных значений массовых расходов на входе и на выходе из газопровода используются данные об этих величинах, рассчитанные по ПК «ТранS-APL» при заданных параметрах утечки (замечание 1).
Параметры
алгоритма идентификации координаты утечки
приняты равными: 
мин, 
м.
В таблице 4 для двух заданных значений координат 
25
км и 50
км утечки газа малой
интенсивности, составляющей 
% от массового расхода кг/с, приведены рассчитанные по предложенному
алгоритму следующие величины: значение функции % (19)
в момент времени , размерное значение момента времени мин, размерное значение 
кг/с величины утечки в момент времени 
размерное значение искомой координаты 
м утечки газа и размерное
значение в метрах величины погрешности 
расчета координаты 
Таблица 4. Расчет координаты 
утечки для расхода
кг/с
%
В таблице 5 для двух заданных
значений координат 25 км и 50 км утечки газа средней интенсивности, составляющей 8 %
от массового расхода 
кг/с, приведены рассчитанные
по предложенному алгоритму те же величины, что и в таблице 4:
% в момент времени 
мин; кг/с; м; 
Таблица 5. Расчет координаты утечки для расхода
кг/с
%
В таблице 6 для координаты 100 км утечки газа средней интенсивности,
составляющей 8 % от массового расхода кг/с, приведены рассчитанные
по предложенному алгоритму те же величины, что и в таблице 4, но для двух функций:
для функции 
, рекомендованной в алгоритме,
и для функции 
. Сравнение погрешностей
расчета координаты утечкипо этим функциям демонстрирует
правильность предложенного выбора функции .
Таблица 6. Расчет координаты утечки для расхода
кг/с%
Таблица 7 иллюстрирует правомерность
выбора критерия
1 % определения момента времени 
перехода к одномерной задаче. Для утечки газа с
координатой 25 км, величиной кг/с приведено сравнение погрешностей (м ) значений рассчитанных
координат 
в три момента времени: ( – 10 мин), 
и (
10 мин). Минимальная погрешность, как следует из
данных таблицы 7, достигается при расчете координаты в момент времени , который рекомендован
в предложенном алгоритме.
Таблица 7. Расчет координаты утечки для расхода
кг/с% в разные моменты времени при 
км
Расчет
координаты утечки газа по ПК «ТранS-MPZ» для всех примеров занимал порядка
одной минуты на обычном персональном компьютере. Программа расчета запускается
в момент времени 
, в который значение
функции 
% впервые
опускается ниже 1 %. Величина существенно меньше времени выхода на новый
установившийся режим транспортировки, поэтому предложенный алгоритм позволяет оперативно
и с достаточной точностью рассчитать местоположение
утечки газа в магистральных газопроводах средних давлений.
Заключение и выводы
Предложен метод оперативного расчета местоположения утечки газа малой и средней интенсивности в магистральных газопроводах средних давлений.
Создан программный комплекс «ТранS-MPZ», реализующий предложенный метод, он базируется на ПК «ТранS-APL» расчета неустановившихся течений при утечке газа в магистральных газопроводах средних давлений.
Приведены примеры расчетов по ПК «ТранS-MPZ» местоположений утечки малой и средней интенсивности, расположенной в разных местах газопровода.
Алгоритм метода оперативного расчета местоположения утечки прост в реализации, в нем используется информация о поведении измеряемых величин массового расхода газа на входе и выходе из газопровода при наличии утечки.
Время расчета местоположения утечки по ПК «ТранS-MPZ» занимает порядка одной минуты на персональном компьютере средней мощности.
Для разных параметров транспортировки газа момент времени запуска программы расчета местоположения утечки разный, однако предложенный критерий, позволяющий определить этот момент времени, является универсальным для широкого круга практических задач о транспортировке газа по магистральным газопроводам среднего давления.
Предложенный метод оперативного расчета местоположения утечки продемонстрирован в статье на примере газопровода, в котором на входе и на выходе поддерживаются постоянные давления. Метод допускает обобщение и на другие возможные граничные условия.
Предложенный метод допускает также обобщение на магистральные газопроводы высокого давления и на задачи, в которых необходим учет неизотермичности процессов.
Представленное в работе исследование позволяет существенно упростить оперативное обнаружение местоположения утечки газа модельными методами.
Литература
1. Курбатова, Г.И., Клемешев, В.А. & Филиппов, К.Б. Цифровые модели подводных трубопроводов в северных морях. Деловой журнал «Neftegaz.RU». 2022. № 1 (121). С. 72–77.
2. Курбатова Г.И., Ермолаева Н.Н., Филиппов В.Б., Филиппов К.Б. Проектирование газопроводов в северных морях. Санкт-Петербург: Лань, – 2020. – 352 с.
3. В.Ф. Куропатенко, И.Р. Макеева. Исследование дистракции разрывов в методах расчета ударных волн // Математическое моделирование. 2006. Т. 18. № 3. С. 120–128.
4. Курбатова Г.И., Клемешев В.А., Егоров Н.В. О возможности использования упрощенных моделей для определения места утечки в газопроводе. Журнал технической физики, 2022. Том 92. Вып. 10. С. 1509–1516.
5. Курбатова Г.И., Клемешев В.А. Математический аппарат обнаружения места утечки в газопроводах. Математическое моделирование, 2021. 33 (8), С. 27–41.
6. Курбатова Г.И., Клемешев В.А. Идентификация места утечки газа малой и средней интенсивности в газопроводах средних и сверхвысоких давлений. Вестник Санкт-Петербургского университета. Прикладная математика. Информатика. Процессы управления. 2023. Том 19. № 2. C. 218–232.
7. Коршунов С. Идентификация утечек газа. Магистральные газопроводы высокого давления. Саарбрюккен: Lambert Academic Publ., 2014. 218 с.
8. Куликовский А.Г., Погорелов Н.В., Семенов А.Ю. Математические вопросы численного решения гиперболических систем уравнений. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2012. 656 с.
9. Васильев Ф.П. Численные методы решения экстремальных задач. Москва. Наука. 1988. 552 с.
10. Лемешко Б.Ю. Методы оптимизации: Конспект лекций / Б.Ю.Лемешко. Новосибирск: Изд-во НГТУ, 2009. 126 с.
